Все формулы РФ

Физика / Электричество

Уравнение Пуассона для электростатического потенциала

Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал с объемной плотностью заряда. Оно показывает, что заряд является источником кривизны потенциала и позволяет находить электрическое поле через E=-grad phi.

Опубликовано: Обновлено:

Классическая электродинамикаЭлектричествоФизические величины и измеренияЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
учебная схема Заряд как источник потенциала

Область с распределенной плотностью заряда показана рядом с кривой потенциала, имеющей ненулевую кривизну.

Плотность заряда задает лапласиан электростатического потенциала.

Обозначения

$\varphi$
электростатический потенциал, В
$\nabla^2$
оператор Лапласа, 1/м^2
$\rho$
объемная плотность электрического заряда, Кл/м^3
$\varepsilon_0$
электрическая постоянная, Ф/м

Условия применения

  • Задача электростатическая: заряды неподвижны или распределение меняется настолько медленно, что магнитные и волновые эффекты несущественны.
  • Среда вакуумная или описывается аналогичной формой с заменой epsilon0 на диэлектрическую проницаемость при однородной линейной среде.
  • Для единственного решения нужны граничные условия: заданный потенциал, нормальная производная или смешанные условия на границе области.

Ограничения

  • В неоднородном диэлектрике правильнее писать div(epsilon grad phi)=-rho_free, а не просто epsilon nabla^2 phi.
  • При быстрых изменениях полей электростатический потенциал не заменяет полную электродинамику с векторным потенциалом и запаздыванием.
  • Точечные заряды дают сингулярности, поэтому уравнение понимают в обобщенном смысле или решают вне точки заряда.

Подробное объяснение

Уравнение Пуассона является дифференциальной формой электростатики для потенциала. Оно говорит, что распределение заряда задает локальную кривизну потенциала, а не сам потенциал напрямую. Поле затем находится как отрицательный градиент потенциала.

Формула получается из закона Гаусса div E=rho/epsilon0 и связи E=-grad phi. Подстановка дает div(-grad phi)=-nabla^2 phi=rho/epsilon0, откуда следует nabla^2 phi=-rho/epsilon0. Поэтому знак в формуле имеет конкретное физическое происхождение.

Если rho=0, уравнение переходит в уравнение Лапласа. Если заряд положителен, лапласиан потенциала отрицателен в выбранной стандартной конвенции. При изменении плотности заряда вдвое кривизна потенциала также меняется вдвое.

В задачах уравнение решают с учетом геометрии: в декартовых, цилиндрических или сферических координатах. Граничные условия часто важнее самой записи, потому что они определяют, какой именно потенциал реализуется между проводниками или в заданной области.

Потенциал удобен тем, что заменяет векторное поле одной скалярной функцией. Но эта простота работает только в электростатике, где ротор электрического поля равен нулю и поле можно представить градиентом.

Как пользоваться формулой

  1. Определите распределение объемного заряда rho в области.
  2. Выберите координаты, соответствующие симметрии задачи.
  3. Запишите лапласиан потенциала в выбранных координатах.
  4. Добавьте граничные условия на проводниках или внешней границе.
  5. После нахождения phi вычислите поле по формуле E=-grad phi.

Историческая справка

Симеон Дени Пуассон в 1810-х годах развивал математическую теорию потенциала для гравитации и электростатики. Уравнение с источником стало естественным продолжением задачи Лапласа, где потенциал рассматривается вне масс или зарядов.

В XIX веке потенциалы стали универсальным языком математической физики. Работы Грина, Гаусса, Томсона и Максвелла связали интегральные законы сил с дифференциальными уравнениями поля. Электростатическая версия уравнения Пуассона получила современный смысл после утверждения полевой картины.

В XX веке формула стала базовой в электродинамике, электронике и численных методах. Ее решают аналитически для симметричных задач и численно для сложных областей, от электродов до полупроводниковых приборов.

Историческая линия формулы

Уравнение носит имя Пуассона из-за его работ по теории потенциала. Электростатическая форма объединяет эту математическую традицию с законом Гаусса и полевой электродинамикой XIX века. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

В бесконечной плоской области заряд распределен так, что внутри слоя rho=2,0*10^-6 Кл/м^3, а потенциал зависит только от x. Тогда уравнение становится d^2 phi/dx^2=-rho/epsilon0. Дано: epsilon0=8,85*10^-12 Ф/м. Подстановка: d^2 phi/dx^2=-(2,0*10^-6)/(8,85*10^-12)≈-2,26*10^5 В/м^2. Ответ: кривизна потенциала отрицательна и равна примерно -2,3*10^5 В/м^2. Проверка: положительный заряд создает поле, расходящееся наружу; потенциал в области положительного заряда имеет отрицательную вторую производную при выбранной одномерной записи.

Частая ошибка

Часто теряют знак минус: он следует из E=-grad phi и закона Гаусса div E=rho/epsilon0. Вторая ошибка - решать уравнение без граничных условий, хотя к потенциалу можно добавить константу или получить множество решений. Третья ошибка - использовать объемную плотность заряда там, где заряд задан поверхностно; тогда нужны граничные условия на скачок поля. Также нельзя автоматически заменять epsilon0 на epsilon в неоднородной среде без оператора div(epsilon grad phi).

Практика

Задачи с решением

Область без заряда

Условие. Что получится из уравнения Пуассона при rho=0?

Решение. Правая часть обращается в нуль, остается nabla^2 phi=0.

Ответ. уравнение Лапласа

Кривизна потенциала

Условие. Плотность заряда увеличили в 3 раза при прежней среде. Как изменится nabla^2 phi?

Решение. Лапласиан линейно пропорционален rho с минусом.

Ответ. по модулю увеличится в 3 раза

Дополнительные источники

  • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics
  • D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics
  • S. D. Poisson, works on potential theory

Связанные формулы

Физика

Плотность энергии электромагнитного поля

$u=\frac12\left(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)$

Плотность энергии электромагнитного поля показывает, сколько энергии содержится в единице объема поля. В вакууме вклад электрического поля пропорционален E^2, а вклад магнитного поля пропорционален B^2.

Физика

Вектор Пойнтинга для потока энергии поля

$\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B$

Вектор Пойнтинга задает плотность потока электромагнитной энергии. Его направление показывает, куда переносится энергия поля, а модуль равен мощности, проходящей через единичную площадку.