Все формулы РФ

Физика / Электричество

Плотность энергии электромагнитного поля

Плотность энергии электромагнитного поля показывает, сколько энергии содержится в единице объема поля. В вакууме вклад электрического поля пропорционален E^2, а вклад магнитного поля пропорционален B^2.

Опубликовано: Обновлено:

Классическая электродинамикаЭлектричествоКолебания и волныЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$u=\frac12\left(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)$$
учебная схема Энергия в электрическом и магнитном поле

Две области с полями E и B показывают отдельные вклады в плотность энергии.

Энергия поля складывается из электрической и магнитной частей.

Обозначения

$u$
объемная плотность энергии поля, Дж/м^3
$E$
модуль напряженности электрического поля, В/м
$B$
модуль магнитной индукции, Тл
$\varepsilon_0$
электрическая постоянная, Ф/м
$\mu_0$
магнитная постоянная, Н/А^2

Условия применения

  • Формула записана для вакуума или области, где поля описываются постоянными epsilon0 и mu0.
  • Поля рассматриваются классически, без квантования мод и без дисперсионных поправок среды.
  • Для полной энергии нужно интегрировать u по объему, где поле существенно отлично от нуля.

Ограничения

  • В материальной среде с дисперсией и потерями выражение для энергии может отличаться и требует производных по частоте.
  • Формула не учитывает энергию источников, нагрев проводников и механическую работу по поддержанию токов.
  • Для сверхсильных полей могут потребоваться квантово-электродинамические поправки, но в обычной классической электродинамике они пренебрежимо малы.

Подробное объяснение

Электромагнитное поле переносит и хранит энергию, даже если в рассматриваемой точке нет зарядов. Плотность u показывает локальную энергию на единицу объема и складывается из электрического и магнитного вкладов.

Квадратичная зависимость означает, что удвоение поля увеличивает вклад энергии в четыре раза. Это соответствует энергии конденсатора и катушки, где энергия также пропорциональна квадрату напряжения, заряда, тока или поля.

В плоской волне в вакууме электрический и магнитный вклады равны. Поэтому полная плотность энергии может быть записана как epsilon0 E^2 или B^2/mu0, если речь именно о такой волне. В статических конфигурациях равенства вкладов обычно нет.

В задачах сначала находят поля из уравнений Максвелла или из заданной геометрии, затем подставляют их в u и интегрируют по объему. Такой путь особенно полезен для конденсаторов, соленоидов и резонаторов.

Важно не путать плотность энергии с потоком энергии. Плотность отвечает на вопрос, сколько энергии находится в объеме, а вектор Пойнтинга показывает, как быстро энергия проходит через единичную площадку.

Как пользоваться формулой

  1. Определите значения E и B в рассматриваемой точке или области.
  2. Проверьте, что используется вакуумная форма выражения.
  3. Возведите модули полей в квадрат и умножьте на соответствующие постоянные.
  4. Сложите электрический и магнитный вклады с множителем 1/2.
  5. Для полной энергии проинтегрируйте плотность по объему.

Историческая справка

Представление об энергии поля сформировалось во второй половине XIX века вместе с электромагнитной теорией Максвелла. До полевой картины энергию часто связывали прежде всего с зарядами, токами и силами между ними.

Максвелл показал, что электрические и магнитные поля обладают собственной динамикой. Позднее Пойнтинг в 1884 году сформулировал теорему о потоке энергии, где плотность энергии поля и вектор потока образуют локальный закон сохранения.

В XX веке эта формула стала базовой для радиофизики, оптики, СВЧ-техники и квантовой теории поля. Даже при квантовании электромагнитного поля классическое выражение остается предельным описанием средней энергии в макроскопических полях. Эта модель затем стала частью устойчивого языка вузовских курсов и лабораторной практики.

Историческая линия формулы

Формула связана с максвелловской электродинамикой и последующей формулировкой закона сохранения энергии поля Пойнтингом. Это результат развития полевой картины, а не изолированное равенство одного эксперимента. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

В плоской электромагнитной волне в вакууме E=100 В/м. Для волны B=E/c, а электрический и магнитный вклады в энергию равны, поэтому u=epsilon0 E^2. Дано: epsilon0=8,85*10^-12 Ф/м. Подстановка: u=8,85*10^-12*100^2=8,85*10^-8 Дж/м^3. Ответ: плотность энергии около 8,9*10^-8 Дж/м^3. Проверка: вклад электрического поля 1/2 epsilon0 E^2 равен половине ответа, вторую половину дает магнитное поле волны. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто забывают множитель 1/2 в отдельных электрическом и магнитном вкладах. Вторая ошибка - использовать B и H как взаимозаменяемые величины без учета среды. Третья ошибка - считать u энергией всего поля, хотя это плотность; полная энергия получается интегрированием по объему. Также нельзя для волны в вакууме брать произвольные E и B независимо: они связаны соотношением B=E/c.

Практика

Задачи с решением

Только электрическое поле

Условие. В области B=0, E=200 В/м. Найдите электрический вклад u.

Решение. u=1/2 epsilon0 E^2=0,5*8,85*10^-12*200^2.

Ответ. 1,77*10^-7 Дж/м^3

Удвоение поля

Условие. Как изменится u электрического поля, если E увеличить в 2 раза?

Решение. Плотность пропорциональна E^2.

Ответ. увеличится в 4 раза

Дополнительные источники

  • J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism
  • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics
  • D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics

Связанные формулы

Физика

Вектор Пойнтинга для потока энергии поля

$\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B$

Вектор Пойнтинга задает плотность потока электромагнитной энергии. Его направление показывает, куда переносится энергия поля, а модуль равен мощности, проходящей через единичную площадку.

Физика

Волновое уравнение электромагнитной волны

$\nabla^2\mathbf E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0$

Волновое уравнение электромагнитной волны описывает распространение электрического поля в пустом пространстве без зарядов и токов. Скорость волны равна c и определяется постоянными электродинамики.

Физика

Уравнение Пуассона для электростатического потенциала

$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал с объемной плотностью заряда. Оно показывает, что заряд является источником кривизны потенциала и позволяет находить электрическое поле через E=-grad phi.