Все формулы РФ

Физика / Электричество

Вектор Пойнтинга для потока энергии поля

Вектор Пойнтинга задает плотность потока электромагнитной энергии. Его направление показывает, куда переносится энергия поля, а модуль равен мощности, проходящей через единичную площадку.

Опубликовано: Обновлено:

Классическая электродинамикаЭлектричествоКолебания и волныЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B$$
учебная схема Направление E, B и S в волне

Три взаимно перпендикулярные стрелки показывают электрическое поле, магнитное поле и поток энергии.

Вектор Пойнтинга направлен как E x B.

Обозначения

$\mathbf S$
вектор плотности потока энергии, Вт/м^2
$\mathbf E$
напряженность электрического поля, В/м
$\mathbf B$
магнитная индукция, Тл
$\mu_0$
магнитная постоянная, Н/А^2

Условия применения

  • Запись дана для вакуума; в среде часто используют форму S=E x H.
  • Поля должны быть взяты в одной точке и в один момент времени.
  • Для гармонических волн обычно интересуются средним по периоду значением вектора.

Ограничения

  • В дисперсионных и поглощающих средах энергетический поток требует аккуратного усреднения и учета потерь.
  • Мгновенный вектор может осциллировать и менять локальное направление, поэтому для измеряемой мощности часто нужен временной средний поток.
  • Формула описывает перенос энергии поля, но не заменяет расчет источников, отражений и граничных условий.

Подробное объяснение

Вектор Пойнтинга показывает, как электромагнитное поле переносит энергию через пространство. Если через площадку проходит поток S, то мощность находится как поверхностный интеграл S dot n по этой площадке.

Направление задается векторным произведением E x B. В плоской волне E, B и направление распространения взаимно перпендикулярны, поэтому S направлен вдоль луча. Если поля не перпендикулярны, модуль потока зависит от синуса угла между ними.

Формула входит в теорему Пойнтинга, локальный закон сохранения энергии электромагнитного поля. Уменьшение энергии поля в объеме равно потоку через границу плюс работе поля над зарядами.

В задачах вектор используют для интенсивности света, мощности излучения, энергии в волноводах и даже для анализа передачи энергии от батареи к резистору через поля вокруг проводников. Это помогает уйти от представления, будто энергия движется только внутри металла.

Для гармонических волн мгновенный S меняется во времени. Поэтому детекторы обычно измеряют среднее значение за период, и в формулах появляется множитель 1/2 для амплитудных значений полей.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите векторы E и B в одной системе координат.
  2. Вычислите векторное произведение E x B.
  3. Разделите результат на mu0 для вакуума или используйте E x H в среде.
  4. Для синусоидального поля найдите среднее по периоду, если нужна измеряемая интенсивность.
  5. Интегрируйте нормальную компоненту S по поверхности для полной мощности.

Историческая справка

Джон Генри Пойнтинг в 1884 году опубликовал работу о переносе энергии в электромагнитном поле. Она появилась после максвелловской теории, когда физикам нужно было понять, где именно находится и как движется энергия электрических и магнитных полей.

Теорема Пойнтинга сделала локальный энергетический баланс электродинамики явным. Она показала, что энергия может течь через пространство вокруг проводников и между источником и нагрузкой, а не только механически переноситься веществом.

В XX веке вектор Пойнтинга стал основой описания радиоволн, оптики, антенн, волноводов и лазерного излучения. Он также вошел в учебную традицию как один из лучших примеров физического смысла векторного произведения.

Историческая линия формулы

Вектор назван в честь Джона Генри Пойнтинга и его работы 1884 года. Его смысл опирается на уравнения Максвелла и развитие закона сохранения энергии в полевой форме. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Плоская волна в вакууме имеет амплитуду электрического поля E0=300 В/м. Средняя интенсивность равна <S>=1/2 epsilon0 c E0^2. Дано: epsilon0=8,85*10^-12 Ф/м, c=3,00*10^8 м/с. Подстановка: <S>=0,5*8,85*10^-12*3,00*10^8*300^2≈119 Вт/м^2. Ответ: средний поток энергии около 1,2*10^2 Вт/м^2. Проверка: направление S перпендикулярно E и B и совпадает с направлением распространения волны. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто перемножают модули E и B без учета векторного произведения, теряя направление. Вторая ошибка - забывать усреднение по времени для синусоидальной волны и получать амплитудный поток вместо среднего. Третья ошибка - использовать B/mu0 там, где в среде правильнее работать с H. Также важно не путать плотность потока энергии в Вт/м^2 с полной мощностью, которая равна интегралу по поверхности.

Практика

Задачи с решением

Направление волны

Условие. E направлено по x, B по y. Куда направлен S?

Решение. По правилу правой руки x cross y дает z.

Ответ. в положительном направлении z

Площадка в пучке

Условие. Интенсивность 50 Вт/м^2 падает перпендикулярно на площадь 0,2 м^2. Найдите мощность.

Решение. P=S A=50*0,2.

Ответ. 10 Вт

Дополнительные источники

  • J. H. Poynting, On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field, 1884
  • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics
  • D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics

Связанные формулы

Физика

Плотность энергии электромагнитного поля

$u=\frac12\left(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)$

Плотность энергии электромагнитного поля показывает, сколько энергии содержится в единице объема поля. В вакууме вклад электрического поля пропорционален E^2, а вклад магнитного поля пропорционален B^2.

Физика

Волновое уравнение электромагнитной волны

$\nabla^2\mathbf E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0$

Волновое уравнение электромагнитной волны описывает распространение электрического поля в пустом пространстве без зарядов и токов. Скорость волны равна c и определяется постоянными электродинамики.