Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Волновое уравнение электромагнитной волны

Волновое уравнение электромагнитной волны описывает распространение электрического поля в пустом пространстве без зарядов и токов. Скорость волны равна c и определяется постоянными электродинамики.

Опубликовано: Обновлено:

Классическая электродинамикаКолебания и волныЭлектричествоЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\nabla^2\mathbf E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0$$
учебная схема Поперечная электромагнитная волна

Синусоидальные E и B показаны перпендикулярно друг другу и направлению распространения.

В вакууме плоская электромагнитная волна распространяется со скоростью c.

Обозначения

$\mathbf E$
вектор напряженности электрического поля, В/м
$\nabla^2$
оператор Лапласа по координатам, 1/м^2
$c$
скорость света в вакууме, м/с
$t$
время, с

Условия применения

  • Область свободна от зарядов и токов, а среда рассматривается как вакуум.
  • Поля достаточно гладкие, чтобы вторые производные по координатам и времени были определены.
  • Для магнитного поля выполняется аналогичное уравнение, связанное с электрическим полем уравнениями Максвелла.

Ограничения

  • В среде скорость и форма уравнения меняются, особенно при дисперсии, поглощении и анизотропии.
  • Границы, проводники и волноводы требуют дополнительных условий и могут менять моды распространения.
  • При наличии источников в правой части появляются члены, связанные с зарядами и токами.

Подробное объяснение

Волновое уравнение показывает, что электромагнитное поле может распространяться само, без механической среды. Изменяющееся магнитное поле создает вихревое электрическое, а изменяющееся электрическое поле создает магнитное; эта взаимная связь поддерживает волну.

Формула получается из уравнений Максвелла в вакууме. Если взять ротор уравнения Фарадея и использовать закон Ампера - Максвелла без токов, получается второе времяпроизводное электрического поля и пространственный лапласиан.

Коэффициент 1/c^2 задает скорость распространения. Для гармонической плоской волны подстановка приводит к дисперсионному соотношению omega=ck. Это означает, что в вакууме все частоты распространяются с одной скоростью.

В задачах уравнение применяют для плоских волн, стоячих волн, резонаторов и начального анализа излучения. Реальные антенны и волноводы добавляют источники и граничные условия, но базовая волновая природа остается той же.

От механических волн электромагнитная отличается поперечностью в вакууме: E и B перпендикулярны направлению распространения. Это свойство не видно из одной скалярной записи, но следует из полной системы Максвелла.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что область можно считать вакуумной и свободной от источников.
  2. Выберите компоненту поля или векторную форму уравнения.
  3. Для плоской волны подставьте cos(kx-omega t) или комплексную экспоненту.
  4. Получите связь omega=ck и используйте ее для длины волны или частоты.
  5. Отдельно найдите магнитное поле из уравнений Максвелла.

Историческая справка

Джеймс Клерк Максвелл в 1860-х годах объединил электричество, магнетизм и оптику в систему уравнений. Из его теории следовало существование волн, распространяющихся со скоростью, совпадающей со скоростью света в пределах точности измерений того времени.

Эксперименты Генриха Герца в 1880-х годах подтвердили существование электромагнитных волн радиодиапазона. Это стало решающим аргументом в пользу максвелловской картины поля и открыло путь радиосвязи.

В XX веке волновое уравнение электромагнитного поля стало основой оптики, радиофизики, СВЧ-техники, лазеров и теории излучения. Квантовая теория изменила понимание света на микроскопическом уровне, но классическое волновое уравнение осталось точным макроскопическим приближением.

Историческая линия формулы

Уравнение связано с максвелловской электродинамикой 1860-х годов и экспериментальным подтверждением Герца. Его не отделяют от полной системы Максвелла, из которой волновая форма выводится в вакууме. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Проверим плоскую волну E=E0 cos(kx-omega t). Для нее nabla^2 E=d^2E/dx^2=-k^2E, а d^2E/dt^2=-omega^2E. Подстановка в уравнение дает -k^2E-(1/c^2)(-omega^2E)=0, то есть omega^2/c^2=k^2. Ответ: omega=ck для волны, бегущей в вакууме. Проверка: фазовая скорость omega/k равна c; если k измеряется в 1/м, omega получается в 1/с, что соответствует угловой частоте. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто забывают, что волновое уравнение в такой форме относится к области без источников. Вторая ошибка - подставлять обычную частоту f вместо угловой omega без множителя 2pi. Третья ошибка - считать электрическое и магнитное поля независимыми решениями: в электромагнитной волне они связаны уравнениями Максвелла. Также нельзя использовать скорость c в веществе без учета показателя преломления.

Практика

Задачи с решением

Длина волны радиосигнала

Условие. Частота f=100 МГц. Найдите длину волны в вакууме.

Решение. lambda=c/f=3,0*10^8/(1,0*10^8).

Ответ. 3 м

Связь omega и k

Условие. k=20 1/м. Найдите omega для вакуума.

Решение. omega=ck=3,0*10^8*20.

Ответ. 6,0*10^9 рад/с

Дополнительные источники

  • J. C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
  • H. Hertz, Electric Waves
  • D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics

Связанные формулы

Физика

Вектор Пойнтинга для потока энергии поля

$\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B$

Вектор Пойнтинга задает плотность потока электромагнитной энергии. Его направление показывает, куда переносится энергия поля, а модуль равен мощности, проходящей через единичную площадку.

Физика

Плотность энергии электромагнитного поля

$u=\frac12\left(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)$

Плотность энергии электромагнитного поля показывает, сколько энергии содержится в единице объема поля. В вакууме вклад электрического поля пропорционален E^2, а вклад магнитного поля пропорционален B^2.

Физика

Длина волны де Бройля для квантовой частицы

$\lambda=\frac{h}{p}$

Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы.