Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Длина волны де Бройля для квантовой частицы

Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы.

Опубликовано: Обновлено:

Квантовая физикаКолебания и волныФизика твердого телаЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\lambda=\frac{h}{p}$$
учебная схема Частица и волна де Бройля

Движущаяся частица показана вместе с синусоидальной волной, длина которой уменьшается при росте импульса.

Импульс частицы задает ее квантовую длину волны.

Обозначения

$\lambda$
длина волны де Бройля, м
$h$
постоянная Планка, Дж·с
$p$
импульс частицы, кг·м/с
$m$
масса частицы при нерелятивистской связи p=mv, кг
$v$
скорость частицы в нерелятивистском приближении, м/с

Условия применения

  • Импульс должен быть определен для рассматриваемого состояния или приближения волнового пакета.
  • Для нерелятивистских задач можно использовать p=mv, но при больших скоростях нужен релятивистский импульс.
  • Наблюдаемость волновых эффектов требует, чтобы lambda была сравнима с размером щели, решетки или межплоскостного расстояния.

Ограничения

  • Формула не говорит, с какой вероятностью частица окажется в точке; для этого нужна волновая функция и граничные условия.
  • Для частиц в потенциале локальная длина волны может меняться, если меняется кинетическая энергия.
  • Макроскопические тела тоже имеют формальную длину волны де Бройля, но она настолько мала, что волновые эффекты практически не наблюдаются.

Подробное объяснение

Формула де Бройля выражает волновую сторону квантовой частицы. Частица с импульсом p связана с пространственным периодом lambda, и этот период проявляется в дифракции и интерференции.

Связь lambda=h/p объединяет планковскую идею кванта с механическим импульсом. Большой импульс означает короткую волну. Поэтому тяжелые или быстрые макроскопические объекты имеют настолько малую lambda, что квантовые полосы неразличимы.

Для нерелятивистской частицы импульс можно выразить через энергию: p=sqrt(2mK). Тогда lambda уменьшается как обратный корень из энергии. У электронов при энергиях сотни электронвольт длина волны попадает в атомный масштаб.

В задачах формула помогает оценить, будет ли частица дифрагировать на решетке, щели или кристалле. Если lambda много меньше размеров препятствия, классическое приближение обычно работает лучше.

Нужно отличать длину волны де Бройля от длины волны фотона в среде. Для фотона p=h/lambda тоже верно, но для массивной частицы связь с энергией другая и зависит от релятивистского режима.

Как пользоваться формулой

  1. Определите импульс частицы или найдите его из скорости или энергии.
  2. Проверьте, нужен ли релятивистский расчет импульса.
  3. Подставьте h и p в одной системе единиц.
  4. Сравните lambda с характерным размером опыта.
  5. Сделайте вывод о возможной дифракции или применимости классической модели.

Историческая справка

Луи де Бройль предложил идею волновой природы материи в докторской диссертации 1924 года. Он перенес связь между энергией, импульсом и волной, известную для света, на массивные частицы. Это было смелым шагом в период становления квантовой теории.

В 1927 году опыты Дэвиссона и Джермера по рассеянию электронов на никеле, а также работы Дж. П. Томсона подтвердили электронную дифракцию. Эти эксперименты показали, что волновая длина де Бройля является измеряемой физической величиной.

Идея де Бройля повлияла на Шредингера при создании волновой механики. В дальнейшем она стала основой электронной микроскопии, нейтронной дифракции и современной квантовой физики частиц и материалов. Эта модель затем стала частью устойчивого языка вузовских курсов и лабораторной практики.

Историческая линия формулы

Формула названа в честь Луи де Бройля и его работы 1924 года. Экспериментальное подтверждение связано с дифракцией электронов в опытах Дэвиссона - Джермера и Дж. П. Томсона в 1927 году. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Электрон разогнан напряжением U=150 В. Нерелятивистски его кинетическая энергия K=eU, а импульс p=sqrt(2m_e eU). Удобная оценка: lambda=h/sqrt(2m_e eU). Подстановка с h=6,626*10^-34 Дж·с, m_e=9,11*10^-31 кг, e=1,602*10^-19 Кл дает lambda≈1,00*10^-10 м. Ответ: длина волны электрона около 0,10 нм. Проверка: это сравнимо с межатомными расстояниями, поэтому электронная дифракция на кристаллах возможна. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто подставляют кинетическую энергию вместо импульса прямо в h/p, что нарушает размерность. Вторая ошибка - использовать p=mv для электронов, разогнанных до релятивистских скоростей, без поправок. Третья ошибка - забывать перевод электронвольтов в джоули при расчете через SI. Также не стоит понимать волну де Бройля как обычную механическую волну в среде; это характеристика квантового состояния.

Практика

Задачи с решением

Нейтрон с импульсом

Условие. Импульс нейтрона p=1,0*10^-24 кг·м/с. Найдите lambda.

Решение. lambda=h/p=6,626*10^-34/(1,0*10^-24).

Ответ. 6,63*10^-10 м

Рост импульса

Условие. Как изменится lambda, если импульс увеличить в 5 раз?

Решение. Длина волны обратно пропорциональна импульсу.

Ответ. уменьшится в 5 раз

Дополнительные источники

  • L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta, 1924
  • C. Davisson, L. Germer, electron diffraction experiments, 1927
  • OpenStax University Physics, Quantum Mechanics

Связанные формулы

Физика

Закон Брэгга для дифракции на кристалле

$2d\sin\theta=n\lambda$

Закон Брэгга задает условие конструктивной интерференции волн, отраженных от соседних кристаллических плоскостей. Он связывает межплоскостное расстояние, угол скольжения, порядок максимума и длину волны.

Физика

Энергия частицы в одномерной бесконечной яме

$E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\quad n=1,2,3,\ldots$

Формула задает дискретные уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергия растет как квадрат квантового числа и уменьшается как квадрат ширины ямы.

Физика

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

$\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$

Соотношение неопределенностей устанавливает нижнюю границу произведения разброса координаты и импульса. Оно отражает не техническую неточность прибора, а структуру квантовых состояний.