Физика / Геометрическая оптика

Закон Брэгга для дифракции на кристалле

Закон Брэгга задает условие конструктивной интерференции волн, отраженных от соседних кристаллических плоскостей. Он связывает межплоскостное расстояние, угол скольжения, порядок максимума и длину волны.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

2d\sin\theta=n\lambda

учебная схема Разность хода от соседних плоскостей

Две параллельные кристаллические плоскости и отраженные лучи показывают путь 2d sin theta.

Максимум возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн.

Обозначения

$d$: межплоскостное расстояние в кристалле, м
$\theta$: угол Брэгга между лучом и плоскостью, рад или град
$n$: порядок дифракционного максимума, без единиц
$\lambda$: длина волны излучения или частицы, м

Условия применения

Волна должна когерентно рассеиваться на периодической системе плоскостей кристалла.
Длина волны должна быть сравнима с межплоскостными расстояниями, иначе дифракционные максимумы не будут наблюдаемы.
Угол theta в классической записи отсчитывается от кристаллической плоскости, а не от нормали к ней.

Ограничения

Формула задает положение максимумов, но не их интенсивность; для интенсивностей нужны структурные факторы и правила отбора.
Реальные кристаллы имеют дефекты, конечный размер зерен и тепловые колебания, которые расширяют и ослабляют пики.
Для сложных решеток нужно связывать d с индексами Миллера и параметрами элементарной ячейки.

Подробное объяснение

Закон Брэгга объясняет дифракционный максимум как результат интерференции волн, отраженных от параллельных атомных плоскостей. Луч, отраженный от нижней плоскости, проходит дополнительный путь по сравнению с лучом от верхней плоскости.

Эта разность хода равна 2d sin theta. Конструктивная интерференция возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн. Поэтому в правой части стоит n lambda.

При фиксированной длине волны большие межплоскостные расстояния дают меньшие углы для первого максимума. При уменьшении d максимум смещается к большим углам. Это свойство лежит в основе определения структуры по дифрактограмме.

В задачах закон обычно используют в двух направлениях: по известным d предсказывают углы пиков или по измеренным углам находят d. Для кристаллов с кубической решеткой затем связывают d с индексами Миллера.

Формула не описывает яркость пика. Даже если условие Брэгга выполнено, интенсивность может быть слабой или запрещенной из-за расположения атомов в ячейке и интерференции внутри базиса.

Как пользоваться формулой

Определите, дан ли угол theta или приборный угол 2theta.
Запишите длину волны и порядок максимума в согласованных единицах.
Подставьте величины в 2d sin theta=n lambda.
Решите уравнение относительно неизвестного d, theta или lambda.
Для структуры кристалла свяжите найденное d с индексами плоскостей.

Историческая справка

Уильям Генри Брэгг и Уильям Лоуренс Брэгг разработали интерпретацию рентгеновской дифракции на кристаллах в 1912-1913 годах. Их подход превратил сложное рассеяние на решетке в простое геометрическое условие отражения от атомных плоскостей.

Открытие стало возможным после работ Макса фон Лауэ, который в 1912 году показал дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах. Брэгги быстро использовали эффект для определения структуры кристаллов и получили Нобелевскую премию 1915 года.

Закон Брэгга стал основой рентгеноструктурного анализа, а позднее его идеи распространились на нейтронную и электронную дифракцию. Через него были определены структуры минералов, металлов, солей, белков и множества материалов.

Историческая линия формулы

Закон назван в честь У. Г. Брэгга и У. Л. Брэгга, сформулировавших условие в 1912-1913 годах. Исторически он тесно связан с открытием рентгеновской дифракции фон Лауэ. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Рентгеновское излучение с lambda=0,154 нм дает максимум первого порядка при theta=20 градусов. Нужно найти d. Дано: n=1, sin20°≈0,342. Подстановка: d=n lambda/(2 sin theta)=0,154 нм/(2*0,342)=0,154/0,684≈0,225 нм. Ответ: межплоскостное расстояние около 0,225 нм. Проверка: d больше lambda/2, иначе при таком угле первый максимум был бы невозможен; единицы длины сохраняются, так как синус безразмерен. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто используют угол 2theta из дифрактограммы как theta. В большинстве рентгеновских приборов по горизонтали отложен именно 2theta, поэтому перед подстановкой его делят на два. Вторая ошибка - забывать порядок n или считать каждый пик первым порядком. Третья ошибка - путать расстояние между плоскостями d с параметром решетки a. Также важно переводить градусы в режим калькулятора, где тригонометрия настроена правильно.

Практика

Задачи с решением

Первый максимум

Условие. d=0,20 нм, lambda=0,10 нм, n=1. Найдите sin theta.

Решение. sin theta=lambda/(2d)=0,10/(0,40).

Ответ. sin theta=0,25

Ошибка с 2theta

Условие. На дифрактограмме пик при 2theta=60 градусов. Какой theta подставлять?

Решение. В закон Брэгга входит половина приборного угла.

Ответ. theta=30 градусов

Дополнительные источники

W. L. Bragg, The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal, 1913
C. Kittel, Introduction to Solid State Physics
B. D. Cullity, Elements of X-Ray Diffraction

Связанные формулы

Физика

Длина волны де Бройля для квантовой частицы

$\lambda=\frac{h}{p}$

Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы.

Физика

Волновое уравнение электромагнитной волны

$\nabla^2\mathbf E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0$

Волновое уравнение электромагнитной волны описывает распространение электрического поля в пустом пространстве без зарядов и токов. Скорость волны равна c и определяется постоянными электродинамики.

Физика

Энергия частицы в одномерной бесконечной яме

$E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\quad n=1,2,3,\ldots$

Формула задает дискретные уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергия растет как квадрат квантового числа и уменьшается как квадрат ширины ямы.