Физика / Физические величины и измерения
Энергия частицы в одномерной бесконечной яме
Формула задает дискретные уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергия растет как квадрат квантового числа и уменьшается как квадрат ширины ямы.
Формула
Отрезок с жесткими границами показывает первые три синусоидальные волновые функции и рост энергии.
Граничные условия разрешают только дискретные длины волн и энергии.
Обозначения
- $E_n$
- энергия n-го уровня, Дж
- $n$
- квантовое число уровня, без единиц
- $h$
- постоянная Планка, Дж·с
- $m$
- масса частицы, кг
- $L$
- ширина ямы, м
Условия применения
- Потенциал внутри ямы считается нулевым, а на границах бесконечно большим, поэтому волновая функция обращается в нуль при x=0 и x=L.
- Частица движется нерелятивистски и описывается стационарным уравнением Шредингера.
- Модель одномерная; движение в других направлениях отсутствует или рассматривается отдельно.
Ограничения
- Реальные потенциальные ямы имеют конечную глубину, поэтому уровни и волновые функции отличаются от идеальной модели.
- Формула не учитывает взаимодействия с другими частицами, спин, внешние поля и структуру стенок.
- Для очень малых L или больших n может понадобиться релятивистская или более подробная модель.
Подробное объяснение
Частица в бесконечной яме является квантовым аналогом стоячей волны на отрезке. Волновая функция должна обращаться в нуль на жестких границах, поэтому в яме помещаются только полуволны с определенными длинами.
Разрешенные длины волн равны lambda_n=2L/n. Через связь де Бройля p=h/lambda получается p_n=nh/(2L), а кинетическая энергия p^2/(2m) дает E_n=n^2h^2/(8mL^2).
Квадратичная зависимость от n означает, что уровни расходятся: переходы между соседними высокими уровнями требуют все большей энергии. Зависимость от L^-2 показывает сильное влияние размера наноструктуры на энергию.
В задачах модель используют как эталон квантования. Она демонстрирует, почему основное состояние имеет ненулевую энергию: частица не может иметь одновременно точную локализацию в яме и нулевой импульс.
Несмотря на идеальность, модель полезна для первых оценок квантовых точек, тонких пленок и электронов в ограниченных областях. Реальные поправки меняют числа, но сохраняют идею дискретных уровней.
Как пользоваться формулой
- Убедитесь, что задача соответствует одномерной яме с жесткими границами.
- Выберите квантовое число n, начиная с 1.
- Подставьте массу частицы и ширину L в СИ.
- Вычислите энергию в джоулях и при необходимости переведите в электронвольты.
- Проверьте масштаб: энергия должна уменьшаться при увеличении L.
Историческая справка
Модель частицы в ящике появилась вместе с волновой механикой Шредингера в 1920-х годах как простейшая краевая задача с дискретным спектром. Она быстро стала учебным примером, потому что показывает квантование без сложной атомной физики.
Идея стоячих волн была знакома из классической акустики и оптики, но квантовая механика придала ей новый смысл: волновая функция определяет вероятности, а граничные условия задают разрешенные энергии частицы.
В дальнейшем модель стала основой для более реалистичных потенциальных ям, зонной теории, квантовых точек и нанофизики. Простая формула сохранилась как первый ориентир для размерного квантования. Эта модель затем стала частью устойчивого языка вузовских курсов и лабораторной практики.
Историческая линия формулы
Формула относится к ранней шредингеровской волновой механике и учебной традиции решения уравнения Шредингера с жесткими граничными условиями. Единственного автора именно этой записи обычно не выделяют. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.
Пример
Электрон находится в яме шириной L=1,0 нм. Найдем основной уровень n=1. Дано: h=6,626*10^-34 Дж·с, m=9,11*10^-31 кг, L=1,0*10^-9 м. Подстановка: E1=h^2/(8mL^2)=(6,626*10^-34)^2/[8*9,11*10^-31*(10^-9)^2]≈6,03*10^-20 Дж. В электронвольтах это 6,03*10^-20/(1,602*10^-19)≈0,376 эВ. Ответ: E1≈0,38 эВ. Проверка: при L=2 нм энергия уменьшилась бы в 4 раза. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.
Частая ошибка
Часто ставят n=0 и получают нулевую энергию, но такое состояние не удовлетворяет граничным условиям для ненулевой волновой функции. Вторая ошибка - забывать квадрат n или квадрат L. Третья ошибка - смешивать h и hbar: через hbar формула имеет вид E_n=n^2 pi^2 hbar^2/(2mL^2). Также нельзя применять бесконечную яму к реальной конечной яме без оценки глубины потенциала.
Практика
Задачи с решением
Второй уровень
Условие. Если E1=0,50 эВ, найдите E2.
Решение. E_n пропорциональна n^2, поэтому E2=4E1.
Ответ. 2,0 эВ
Удвоение ширины
Условие. Как изменится E1, если L увеличить в 2 раза?
Решение. Энергия обратно пропорциональна L^2.
Ответ. уменьшится в 4 раза
Дополнительные источники
- E. Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem, 1926
- D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics
- OpenStax University Physics, Quantum Mechanics
Связанные формулы
Физика
Длина волны де Бройля для квантовой частицы
Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы.
Физика
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Соотношение неопределенностей устанавливает нижнюю границу произведения разброса координаты и импульса. Оно отражает не техническую неточность прибора, а структуру квантовых состояний.
Физика
Закон Брэгга для дифракции на кристалле
Закон Брэгга задает условие конструктивной интерференции волн, отраженных от соседних кристаллических плоскостей. Он связывает межплоскостное расстояние, угол скольжения, порядок максимума и длину волны.