Физика / Физические величины и измерения

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Соотношение неопределенностей устанавливает нижнюю границу произведения разброса координаты и импульса. Оно отражает не техническую неточность прибора, а структуру квантовых состояний.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}

учебная схема Узкий пакет и широкий импульс

Схема сравнивает широкий и узкий волновые пакеты с соответствующим разбросом импульса.

Сильная локализация увеличивает минимальный разброс импульса.

Обозначения

$\Delta x$: среднеквадратичный разброс координаты, м
$\Delta p$: среднеквадратичный разброс импульса, кг·м/с
$\hbar$: приведенная постоянная Планка, Дж·с

Условия применения

Величины Delta x и Delta p понимаются как статистические неопределенности состояния, а не произвольные ошибки округления.
Формула относится к сопряженным переменным координаты и импульса вдоль одной оси.
Состояние должно иметь конечные дисперсии координаты и импульса, чтобы запись через Delta была корректной.

Ограничения

Соотношение не утверждает, что измерительный прибор обязательно вносит именно такую ошибку; оно ограничивает возможные квантовые состояния.
Для других пар наблюдаемых используется более общая формула через коммутатор.
Малое Delta x не означает известную траекторию частицы, потому что большой разброс импульса меняет дальнейшую эволюцию пакета.

Подробное объяснение

Соотношение Гейзенберга показывает, что координата и импульс не могут быть одновременно сколь угодно узко распределены в одном квантовом состоянии. Узкий волновой пакет в пространстве требует широкого набора волновых чисел, а значит широкого набора импульсов.

Математически это связано с некоммутативностью операторов x и p. Их коммутатор равен i hbar, и общая теорема о дисперсиях наблюдаемых дает нижнюю границу произведения неопределенностей.

Формула не запрещает точное измерение одной величины. Она говорит, что состояние с очень малой Delta x неизбежно имеет большую Delta p. После такого измерения дальнейшее движение частицы нельзя предсказать как классическую траекторию с точным импульсом.

В задачах соотношение используют для оценок минимальной энергии. Например, электрон, зажатый в малой области, должен иметь ненулевой разброс импульса и кинетическую энергию. Это объясняет устойчивость квантовых систем и порядок энергий в атомах.

Важно не путать неопределенность с незнанием скрытой классической величины. В стандартной квантовой механике речь идет о свойствах состояния и вероятностного описания, а не только о недостатке информации наблюдателя.

Как пользоваться формулой

Определите, какая координата и какой компонент импульса рассматриваются.
Задайте или оцените разброс Delta x как ширину состояния.
Найдите нижнюю границу Delta p из hbar/(2Delta x).
Проверьте размерность произведения Delta x Delta p.
Используйте результат как минимальную оценку, а не как обязательное равенство.

Историческая справка

Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности в 1927 году на фоне создания матричной механики. Первоначально он обсуждал измерение координаты и импульса через мысленные эксперименты, например гамма-микроскоп.

В том же периоде Бор развивал идею дополнительности, а Шредингерова волновая механика дала наглядное объяснение через ширину волновых пакетов. Позднее соотношение было строго записано через дисперсии и коммутаторы операторов.

Принцип стал одним из центральных отличий квантовой механики от классической. Он повлиял на интерпретацию измерения, теорию атомов, физику твердого тела и современные квантовые технологии, где управление неопределенностями является практической задачей.

Историческая линия формулы

Соотношение названо в честь Гейзенберга из-за работы 1927 года. Современная строгая форма через дисперсии и коммутаторы связана также с развитием операторной квантовой механики и вкладом Бора, Шредингера, Робертсона и других авторов. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Электрон локализован в области шириной Delta x=1,0 нм. Оценим минимальный разброс импульса. Дано: hbar=1,055*10^-34 Дж·с, Delta x=1,0*10^-9 м. Подстановка: Delta p >= hbar/(2Delta x)=1,055*10^-34/(2*10^-9)=5,28*10^-26 кг·м/с. Ответ: разброс импульса не меньше 5,3*10^-26 кг·м/с. Проверка: произведение Delta x Delta p дает Дж·с, как hbar; чем сильнее локализация, тем больше минимальный разброс импульса. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто объясняют формулу только плохим прибором, хотя она относится к самому состоянию. Вторая ошибка - подставлять обычные интервалы вместо среднеквадратичных отклонений без понимания оценки. Третья ошибка - использовать h вместо hbar/2 и терять множитель 4pi. Также нельзя применять пару Delta x и Delta p из разных направлений: координата x сопряжена с p_x.

Практика

Задачи с решением

Локализация протона

Условие. Delta x=1 фм. Оцените минимальный Delta p.

Решение. Delta p>=hbar/(2Delta x)=1,055*10^-34/(2*10^-15).

Ответ. 5,3*10^-20 кг·м/с

Увеличение ширины

Условие. Delta x увеличили в 4 раза. Как меняется минимальная Delta p?

Решение. Граница обратно пропорциональна Delta x.

Ответ. уменьшается в 4 раза

Дополнительные источники

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, 1927
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics
R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics

Связанные формулы

Физика

Длина волны де Бройля для квантовой частицы

$\lambda=\frac{h}{p}$

Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы.

Физика

Энергия частицы в одномерной бесконечной яме

$E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\quad n=1,2,3,\ldots$

Формула задает дискретные уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергия растет как квадрат квантового числа и уменьшается как квадрат ширины ямы.

Физика

Погрешность косвенного измерения через частные производные

$u_f=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i}\right)^2}$

Формула распространения неопределенности оценивает стандартную погрешность величины, найденной косвенно через измеренные аргументы. Частные производные показывают чувствительность результата к каждому входному измерению.