Физика / Физические величины и измерения

Погрешность косвенного измерения через частные производные

Формула распространения неопределенности оценивает стандартную погрешность величины, найденной косвенно через измеренные аргументы. Частные производные показывают чувствительность результата к каждому входному измерению.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

u_f=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i}\right)^2}

учебная схема Бюджет неопределенности косвенного измерения

Входные величины с отдельными неопределенностями входят в функцию f, а их вклады складываются под корнем.

Частные производные показывают, какие измерения сильнее влияют на итоговую неопределенность.

Обозначения

$u_f$: стандартная неопределенность результата f, единица f
$f(x_1,...,x_n)$: функция косвенного измерения, зависит от задачи
$x_i$: измеряемая входная величина, своя единица
$u_{x_i}$: стандартная неопределенность входной величины, единица x_i
$\partial f/\partial x_i$: коэффициент чувствительности, единица f / единица x_i

Условия применения

Входные величины считаются независимыми; при корреляции нужны дополнительные ковариационные члены.
Функция f должна быть достаточно гладкой, а неопределенности достаточно малы для линейного приближения.
Все u_xi должны быть стандартными неопределенностями одного уровня, а не смесью предельных ошибок и доверительных интервалов.

Ограничения

При сильной нелинейности или больших неопределенностях линейное распространение может давать смещенную оценку; тогда применяют моделирование Монте-Карло.
Если входные величины коррелированы, простая сумма квадратов занижает или завышает итоговую неопределенность.
Формула не исправляет систематические ошибки измерительной методики; их нужно оценивать отдельно.

Подробное объяснение

Формула распространения неопределенности основана на линейном приближении функции f около измеренных значений. Если вход x_i немного меняется, результат меняется примерно на (partial f/partial x_i) Delta x_i. Коэффициент чувствительности переводит ошибку входа в ошибку результата.

Для независимых входов случайные вклады складываются по дисперсиям, поэтому появляется сумма квадратов и корень. Такой способ отражает то, что независимые отклонения могут частично компенсироваться, а не всегда складываются в одну сторону.

Частные производные важны физически. Если результат почти не зависит от некоторой величины, ее неопределенность почти не влияет на u_f. Если производная велика, даже небольшой разброс входа может доминировать в бюджете неопределенности.

В лабораторных задачах формула помогает не только поставить погрешность к ответу, но и понять, какое измерение нужно улучшить. Достаточно сравнить отдельные вклады под корнем, чтобы увидеть главный источник неопределенности.

При наличии корреляций простая запись неполна. Например, две величины могут измеряться одним прибором или вычисляться из общего калибровочного коэффициента. Тогда добавляют члены с ковариациями и знаки производных начинают влиять на итог.

Как пользоваться формулой

Запишите функцию f, через которую вычисляется косвенная величина.
Найдите частные производные f по каждому входному параметру.
Подставьте измеренные значения в производные, чтобы получить чувствительности.
Умножьте каждую чувствительность на стандартную неопределенность входа.
Сложите квадраты вкладов и извлеките корень; отдельно проверьте корреляции.

Историческая справка

Методы обработки ошибок развивались в XVIII-XIX веках вместе с астрономией, геодезией и точными физическими измерениями. Работы Лежандра и Гаусса по методу наименьших квадратов дали математическую основу для статистической обработки наблюдений.

Формула распространения ошибок через производные стала естественным следствием дифференциального исчисления и теории дисперсий. В физическом эксперименте она закрепилась как стандартный способ переносить неопределенности от прямых измерений к вычисляемым величинам.

В конце XX века международные документы по выражению неопределенности измерений, включая GUM 1990-х годов, закрепили язык стандартных неопределенностей, коэффициентов чувствительности и бюджетов неопределенности. Современная метрология использует ту же идею, но аккуратно различает случайные, систематические и коррелированные вклады.

Историческая линия формулы

Формула не принадлежит одному автору: она выросла из гауссовой теории ошибок, дифференциального анализа и метрологической стандартизации. Современная терминология коэффициентов чувствительности связана с международным руководством GUM. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Сопротивление найдено по формуле R=U/I. Дано: U=12,0 В, u_U=0,1 В, I=2,00 А, u_I=0,02 А. Частные производные: partial R/partial U=1/I=0,5 Ом/В, partial R/partial I=-U/I^2=-12/4=-3 Ом/А. Подстановка: u_R=sqrt((0,5*0,1)^2+(-3*0,02)^2)=sqrt(0,05^2+0,06^2)=0,078 Ом. Сам результат R=6,00 Ом. Ответ: R=(6,00±0,08) Ом для стандартной неопределенности. Проверка: оба вклада имеют единицы Ом, а сумма квадратов не зависит от знака производной. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто складывают абсолютные погрешности линейно, хотя для независимых стандартных неопределенностей используется корень из суммы квадратов. Вторая ошибка - забывать частные производные и подставлять относительные ошибки там, где функция не является простым произведением степеней. Третья ошибка - сохранять знак производной внутри квадрата как физический минус; после возведения знак исчезает. Также нельзя смешивать расширенную неопределенность с коэффициентом охвата и стандартную неопределенность без пересчета.

Практика

Задачи с решением

Плотность

Условие. rho=m/V. Какой коэффициент чувствительности по массе?

Решение. Частная производная partial rho/partial m=1/V.

Ответ. 1/V

Независимые вклады

Условие. Два вклада в неопределенность равны 3 и 4 единицы результата. Найдите общий u.

Решение. u=sqrt(3^2+4^2).

Ответ. 5 единиц результата

Дополнительные источники

JCGM 100:2008, Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement
P. R. Bevington, D. K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences
J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis

Связанные формулы

Физика

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

$\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$

Соотношение неопределенностей устанавливает нижнюю границу произведения разброса координаты и импульса. Оно отражает не техническую неточность прибора, а структуру квантовых состояний.

Физика

Тензор малых деформаций в сплошной среде

$\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$

Тензор малых деформаций описывает локальное растяжение, сжатие и сдвиг сплошной среды через производные перемещений. Он отделяет истинную деформацию от поворота малого элемента и служит основой линейной теории упругости.

Физика

Уравнение Пуассона для электростатического потенциала

$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал с объемной плотностью заряда. Оно показывает, что заряд является источником кривизны потенциала и позволяет находить электрическое поле через E=-grad phi.