Все формулы РФ

Финансы / Инвестиции

Логарифмическая доходность инвестиции

Логарифмическая доходность измеряет изменение цены через натуральный логарифм отношения конечной цены к начальной и удобна для сложения доходностей по последовательным периодам.

Опубликовано: Обновлено:

ИнвестицииБазовые финансовые расчетыЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениямиКалькулятор

Формула

$$r=\ln\left(\frac{P_1}{P_0}\right)$$

Обозначения

$r$
логарифмическая доходность за период, доля единицы
$P_0$
начальная цена актива, денежные единицы
$P_1$
конечная цена актива, денежные единицы
$\ln$
натуральный логарифм, безразмерная операция

Условия применения

  • Обе цены должны быть положительными, иначе натуральный логарифм отношения не определен в действительных числах.
  • Формула в базовом виде описывает только изменение цены без дивидендов, купонов и пополнений.
  • Цены должны быть приведены к одной валюте, одному активу и одному масштабу котировки.

Ограничения

  • Логарифмическая доходность не равна простой доходности, хотя при малых изменениях они близки.
  • При денежных выплатах нужно использовать скорректированные цены или отдельную модель полной доходности.
  • Показатель удобен для анализа рядов, но сам по себе не оценивает риск, ликвидность или качество актива.

Подробное объяснение

Логарифмическая доходность показывает, во сколько раз изменилась цена, но выражает это изменение через натуральный логарифм. Если цена выросла с P_0 до P_1, отношение P_1 / P_0 показывает мультипликатор роста. Логарифм превращает этот мультипликатор в величину, удобную для сложения по времени.

Главное свойство следует из правила логарифмов: ln(a*b) = ln(a) + ln(b). Если цена сначала изменилась с 100 до 105, а затем со 105 до 110, общий множитель равен (105/100)*(110/105) = 110/100. Логарифмы двух промежутков складываются и дают логарифм общего отношения.

При малых изменениях логарифмическая доходность близка к простой доходности, потому что ln(1+x) примерно равен x при небольшом x. Но при больших изменениях разница заметна. Рост на 100% дает простую доходность 1, а логарифмическую ln(2) примерно 0,693. Поэтому важно не смешивать показатели без пояснения.

Формула часто встречается в статистике финансовых рядов, где цены наблюдаются ежедневно или ежемесячно. Логарифмические доходности позволяют удобнее считать накопленный результат, средние значения и модели непрерывного начисления. При этом они остаются расчетной формой, а не самостоятельной оценкой привлекательности актива.

Перед применением нужно проверить качество цен: сплиты, дивиденды, смена валюты и пропуски наблюдений могут исказить отношение P_1 / P_0. Для анализа полной доходности используют скорректированные ряды или добавляют денежные выплаты отдельным способом.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что P_0 и P_1 положительны.
  2. Разделите конечную цену P_1 на начальную цену P_0.
  3. Возьмите натуральный логарифм полученного отношения.
  4. Оставьте результат как долю или умножьте на 100% для процентной записи.
  5. Для нескольких последовательных периодов сложите логарифмические доходности.

Историческая справка

Логарифмы вошли в расчетную практику после работ Джона Непера в начале XVII века и быстро стали инструментом для упрощения умножения, деления и степенных зависимостей. В финансах идея логарифмического изменения стала особенно полезной там, где величины накапливаются мультипликативно: капитал растет не на абсолютную сумму, а через последовательные множители. В XX веке логарифмические доходности закрепились в финансовой эконометрике, теории случайных процессов и моделях цен активов. Они хорошо согласуются с непрерывным начислением и геометрическим броуновским движением, которое используется в классических моделях оценки опционов. В учебных курсах логарифмическая доходность обычно вводится рядом с простой доходностью, чтобы показать разницу между результатом за один период и удобной аналитической записью для временных рядов.

Историческая линия формулы

Формула не принадлежит одному автору. Она соединяет математическую традицию натуральных логарифмов, развившуюся после Непера и Эйлера, с финансовой практикой анализа относительных изменений цен. В современном виде запись закреплена в финансовой эконометрике и инвестиционном анализе.

Пример

Дано: цена актива выросла со 100 рублей до 110 рублей. Нужно найти логарифмическую доходность. Подстановка: r = ln(P_1 / P_0) = ln(110 / 100) = ln(1,10). По таблице или калькулятору ln(1,10) примерно равен 0,09531. Ответ: логарифмическая доходность равна 0,09531, или около 9,531%. Проверка: простая доходность за тот же период равна 10%, поэтому логарифмическая немного меньше, что нормально для положительного роста. Если применить обратный переход, exp(0,09531) - 1 примерно даст 0,10, то есть исходное отношение цен восстановится.

Частая ошибка

Частая ошибка - записывать ln(P_1 - P_0) вместо ln(P_1 / P_0). Логарифм берется от отношения цен, а не от денежной разницы. Вторая ошибка - применять формулу к нулевой или отрицательной цене; в таком виде расчет невозможен. Третья ошибка - складывать простые и логарифмические доходности в одной таблице как одинаковые величины. Еще одна ошибка - забывать, что дивиденды и купоны не включаются автоматически: без корректировки цен формула показывает только ценовую часть.

Практика

Задачи с решением

Рост цены

Условие. Цена выросла с 200 до 230 рублей. Найдите логарифмическую доходность.

Решение. r = ln(230/200) = ln(1,15) примерно 0,13976.

Ответ. примерно 13,976%

Падение цены

Условие. Цена снизилась с 80 до 72 рублей. Найдите логарифмическую доходность.

Решение. r = ln(72/80) = ln(0,9) примерно -0,10536.

Ответ. примерно -10,536%

Дополнительные источники

  • Campbell, Lo, MacKinlay. The Econometrics of Financial Markets
  • Bodie, Kane, Marcus. Investments, раздел Return Measurement
  • Hull. Options, Futures, and Other Derivatives, разделы о непрерывном начислении

Связанные формулы

Финансы

Доходность инвестиции за период

$R=\frac{P_1-P_0+D}{P_0}$

Доходность инвестиции за период показывает, какую долю от начальной стоимости составили изменение цены актива и полученные денежные выплаты за выбранный интервал.

Финансы

Реальная доходность с учетом инфляции

$r_{real}=\frac{1+r_{nom}}{1+\pi}-1$

Реальная доходность показывает, как изменилась покупательная способность результата после поправки номинальной доходности на инфляцию за тот же период.