Все формулы РФ

Инженерия / Теплопередача

Лучистый обмен двух серых параллельных пластин

Две большие непрозрачные серые пластины обмениваются излучением с учётом многократных отражений. В знаменателе участвуют обе степени черноты; подстановка только одной из них не описывает пару поверхностей.

Опубликовано: Обновлено:

ТеплопередачаКоличество теплотыСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$q_{12}=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{1/\varepsilon_1+1/\varepsilon_2-1}$$
Схема Излучение и отражения между пластинами
Излучение и отражения между пластинамиJ₁ →← J₂q₁₂=J₁−J₂=517,730 Вт/м²T₁=400 К; ε₁=0,8T₂=300 К; ε₂=0,6среда не участвует в обмене

Два баланса уходящих потоков J₁ и J₂ дают чистый обмен J₁−J₂; обратные стрелки учитывают отражения.

Обозначения

$q₁₂$
чистая плотность мощности от пластины 1 к 2, Вт/м²
$T₁,T₂$
абсолютные температуры поверхностей, К
$ε₁,ε₂$
интегральные степени черноты серых поверхностей, 1
$σ$
постоянная Стефана — Больцмана,5,670374419·10⁻⁸, Вт/(м²·К⁴)

Условия применения

Пластины изотермические, большие относительно зазора, непрозрачные, диффузно отражающие и серые; угловой коэффициент между ними равен 1. Между ними среда не поглощает и не излучает. Степени черноты постоянны и удовлетворяют 0<εᵢ≤1.

Ограничения

Для конечных пластин, посторонних поверхностей или экранов требуется система угловых коэффициентов и радиационных балансов. Спектрально избирательные и зеркальные покрытия нарушают серую диффузную модель. Чистое излучение не равно полной теплопередаче через воздушный зазор.

Подробное объяснение

Каждая пластина излучает и отражает падающую энергию. Радиационная яркость в интегральной диффузной модели описывается плотностью уходящего потока J: J₁=ε₁σT₁⁴+(1−ε₁)J₂, J₂=ε₂σT₂⁴+(1−ε₂)J₁. Из-за полного взаимного видения поток, уходящий с одной поверхности, падает на другую.

Вычитание и решение двух линейных уравнений даёт q₁₂=J₁−J₂=σ(T₁⁴−T₂⁴)/(1/ε₁+1/ε₂−1). Дополнительный знаменатель учитывает отражения; он симметричен относительно перестановки пластин. При смене мест температуры меняют знак чистого потока, а не абсолютную величину знаменателя.

Если обе поверхности чёрные, знаменатель равен 1. Если только вторая чёрная, поток равен ε₁σ(T₁⁴−T₂⁴). Для двух одинаковых серых поверхностей эффективная степень черноты ε/(2−ε), она меньше ε. Перемножать ε₁ε₂ вместо решения баланса в общем случае неверно.

При одинаковых температурах чистый поток нулевой, хотя обе поверхности продолжают излучать. Четвёртые степени требуют абсолютных температур; разность четвёртых степеней градусов Цельсия не является физическим эквивалентом. Общую мощность получают умножением q₁₂ на согласованную площадь обмена.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что поверхности можно считать большими параллельными серыми пластинами; оценка не охватывает произвольную геометрию.
  2. Переведите температуры обеих поверхностей в кельвины и выберите согласованные интегральные степени черноты для данных условий.
  3. Рассчитайте знаменатель 1/ε₁+1/ε₂−1 и разность четвёртых степеней; проверьте знак потока по более горячей поверхности.
  4. Умножьте плотность потока на площадь, если нужна мощность; теплопроводность среды и конвекцию учитывайте отдельными членами.

Историческая справка

Основой лучистого расчёта является закон полной мощности чёрного тела Стефана — Больцмана. Серые поверхности требуют дополнительного учёта отражения: энергия, не поглощённая при первом падении, может вернуться после отражения от другой пластины. Поэтому обмен пары не получается простой заменой чёрного коэффициента на одну степень черноты.

В инженерной теории XX века радиационные балансы стали записывать через уходящий поток и систему поверхностей. Отчёт NASA Siegel и Hussain1975 года развивает метод чистого излучения для систем с непрозрачными и частично прозрачными стенками; это более широкий контекст метода, а не первичная атрибуция данной дроби.

Учебная задача MIT по обмену двух пластин предлагает два эквивалентных подхода: бесконечную последовательность отражений или баланс уходящих потоков. Современная компактная дробь объединяет эти рассуждения. Её простота сохраняется только при полном взаимном видении и серой диффузной модели.

Историческая линия формулы

Формула сочетает закон Стефана — Больцмана с радиационным балансом отражающих поверхностей. Она не объявляется отдельным законом одного из этих авторов. Приведённые учебные и инженерные источники подтверждают метод; дата первого появления именно этой записи здесь не утверждается.

Пример

Пусть T₁=400 К, T₂=300 К, ε₁=0,8, ε₂=0,6. Разность степеней 400⁴−300⁴=17,5·10⁹ К⁴. Чёрный предел σΔT⁴≈992,3155233 Вт/м². Знаменатель 1/0,8+1/0,6−1=23/12≈1,916667, поэтому q₁₂≈517,729838 Вт/м² от первой пластины ко второй. Для площади 2 м² мощность≈1035,45968 Вт. Независимый контроль: эффективная степень черноты 12/23≈0,521739 меньше каждой из двух степеней черноты и меньше 1; умножение её на чёрный предел возвращает тот же поток. При равных температурах числитель обнулился бы независимо от покрытий. Единица мощности — ватт; умножение на площадь устраняет квадратный метр в знаменателе.

Частая ошибка

Не используйте градусы Цельсия под четвёртой степенью. Не умножайте две степени черноты вместо вычисления знаменателя. Не называйте нулевой чистый обмен отсутствием излучения. Не складывайте площадь обеих пластин при расчёте мощности одного и того же обмена. Для конечной геометрии не принимайте угловой коэффициент равным 1 без основания.

Практика

Задачи с решением

Одинаковые покрытия

Условие. ε₁=ε₂=0,5. Какую долю чёрного потока составит обмен?

Решение. Знаменатель 2+2−1=3, эффективная степень черноты 1/3.

Ответ. Одна треть чёрного потока.

Чёрная вторая пластина

Условие. ε₁=0,25, ε₂=1, чёрный поток 800 Вт/м². Найдите q.

Решение. Знаменатель 4+1−1=4; q=800/4=200 Вт/м².

Ответ. 200 Вт/м².

Дополнительные источники

  • https://ahtt.mit.edu/wp-content/uploads/2024/04/AHTTv600.pdf
  • https://web.mit.edu/physics/refs/generals/P1Spring12.pdf
  • https://ntrs.nasa.gov/citations/19750017020

Связанные формулы

Физика

Закон Стефана - Больцмана

$P=\sigma S T^4$

Мощность излучения абсолютно черного тела пропорциональна площади поверхности и четвертой степени абсолютной температуры.

Физика

Закон излучения Кирхгофа

$\frac{e_\lambda(T)}{a_\lambda(T)}=e_{\lambda}^{(\text{ч.т.})}(T)$

Закон Кирхгофа для теплового излучения утверждает, что отношение спектральной излучательной способности тела к его поглощательной способности равно излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Физика

Закон смещения Вина

$\lambda_{\max}T=b$

Закон смещения Вина описывает положение максимума спектра абсолютно черного тела. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по тепловому излучению.