Физика / Термодинамика

Закон Стефана - Больцмана

Мощность излучения абсолютно черного тела пропорциональна площади поверхности и четвертой степени абсолютной температуры.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

P=\sigma S T^4

График Четвертая степень температуры

Небольшой рост T может дать большой рост излучаемой мощности.

Обозначения

$P$: полная мощность теплового излучения, Вт
$\sigma$: постоянная Стефана - Больцмана, Вт/(м^2·К^4)
$S$: площадь излучающей поверхности, м^2
$T$: абсолютная температура, К

Условия применения

Тело рассматривается как абсолютно черное или коэффициент излучения равен единице.
Температура поверхности выражена в кельвинах.
Мощность считается по всем длинам волн и всей излучающей площади.

Ограничения

Для реального серого тела нужно умножать на коэффициент излучения epsilon.
Формула не учитывает поглощение излучения окружающей средой; для теплообмена часто используют разность T^4 и T0^4.
Она дает полную мощность, но не распределение энергии по длинам волн.

Подробное объяснение

Закон Стефана - Больцмана является интегральным законом теплового излучения абсолютно черного тела. В отличие от спектральных формул, он не показывает, какие длины волн несут энергию, а сразу дает суммарную мощность по всему спектру. Главная особенность - зависимость от четвертой степени температуры. Из-за нее нагретые тела при повышении температуры излучают намного интенсивнее.

Для реальных тел вводят коэффициент излучения epsilon от 0 до 1: P = epsilon sigma S T^4. Если тело обменивается излучением с окружающей средой температуры T0, полезная потеря энергии часто записывается как P = epsilon sigma S (T^4 - T0^4). Это важно в инженерных расчетах, потому что холодное окружение тоже излучает назад.

Закон тесно связан с квантовой теорией излучения. Его можно получить интегрированием формулы Планка по всем длинам волн. В школьных задачах достаточно помнить область применения: абсолютная температура, черное или серое тело, полная мощность излучения.

Как пользоваться формулой

Переведите температуру в кельвины и площадь в квадратные метры.
Для абсолютно черного тела используйте P = sigma S T^4.
Для реального тела добавьте коэффициент излучения epsilon, если он дан.
Если ищете потери на фоне окружения, используйте разность T^4 - T0^4.
Проверьте чувствительность: удвоение T увеличивает P в 16 раз.

Историческая справка

Йозеф Стефан в 1879 году установил по экспериментальным данным, что излучение нагретого тела связано с четвертой степенью абсолютной температуры. Людвиг Больцман вскоре вывел этот закон теоретически, используя термодинамические рассуждения и электромагнитную природу излучения. Позднее закон получил более глубокое обоснование через формулу Планка для спектра черного тела: интегрирование по всем частотам дает ту же зависимость sigma T^4. Закон стал одним из ключевых инструментов астрофизики, потому что светимость звезды напрямую связана с ее радиусом и эффективной температурой. В теплотехнике он также объясняет быстрый рост радиационных потерь при нагреве печей, ламп, экранов и космических аппаратов.

Историческая линия формулы

Экспериментальная зависимость связана с Йозефом Стефаном, а теоретическое обоснование - с Людвигом Больцманом. Современное понимание закона опирается также на планковскую теорию чернотельного излучения. и интегрирование спектра по всем частотам.

Пример

Площадь маленькой черной поверхности равна 0,020 м^2, температура 600 К. Возьмем sigma = 5,67 * 10^-8 Вт/(м^2·К^4). Тогда P = sigma S T^4 = 5,67 * 10^-8 * 0,020 * 600^4. Четвертая степень 600 равна 1,296 * 10^11, поэтому P ≈ 5,67 * 10^-8 * 0,020 * 1,296 * 10^11 ≈ 147 Вт. Если температуру увеличить до 1200 К при той же площади, мощность вырастет в 2^4 = 16 раз. Это показывает, почему излучение очень чувствительно к температуре. Проверка единиц дает Вт/(м^2·К^4) * м^2 * К^4 = Вт, поэтому вычисленная величина действительно является мощностью. Расчет делают только в кельвинах.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять температуру в градусах Цельсия. Вторая ошибка - забывать четвертую степень и считать зависимость линейной. Еще одна ошибка - использовать формулу P = sigma S T^4 для чистого теплообмена с окружающей средой без вычитания излучения, которое тело само получает от окружения. Для реальных материалов также часто забывают коэффициент излучения.

Практика

Задачи с решением

Излучение черной пластины

Условие. S = 0,01 м^2, T = 500 К. Найдите P для абсолютно черного тела.

Решение. P = 5,67 * 10^-8 * 0,01 * 500^4 ≈ 35,4 Вт.

Ответ. примерно 35 Вт

Увеличение температуры

Условие. Температуру черного тела увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменилась мощность излучения?

Решение. P пропорциональна T^4, значит мощность выросла в 3^4 = 81 раз.

Ответ. в 81 раз

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax University Physics, раздел Blackbody Radiation
CODATA recommended value of Stefan-Boltzmann constant

Связанные формулы

Физика

Закон излучения Кирхгофа

$\frac{e_\lambda(T)}{a_\lambda(T)}=e_{\lambda}^{(\text{ч.т.})}(T)$

Закон Кирхгофа для теплового излучения утверждает, что отношение спектральной излучательной способности тела к его поглощательной способности равно излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Физика

Формула Рэлея - Джинса

$u(\nu,T)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}kT$

Формула Рэлея - Джинса описывает спектральную плотность энергии черного тела в классическом приближении и хорошо работает на малых частотах.

Физика

Уравнение Клаузиуса - Клапейрона

$\frac{dp}{dT}=\frac{L}{T\Delta V}$

Уравнение Клаузиуса - Клапейрона связывает наклон линии фазового равновесия с теплотой перехода, температурой и изменением объема.