Все формулы РФ

Физика / Термодинамика

Формула Рэлея - Джинса

Формула Рэлея - Джинса описывает спектральную плотность энергии черного тела в классическом приближении и хорошо работает на малых частотах.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 11 классФормулы по физике для ЕГЭТермодинамикаКалькуляторЕсть историческая справкаФормулы по физике за 10 класс

Формула

$$u(\nu,T)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}kT$$
График Классический рост спектра
RJПланк

Именно этот рост приводит к ультрафиолетовой катастрофе.

Обозначения

$u(\nu,T)$
спектральная плотность энергии по частоте, Дж·с/м^3 или согласованная спектральная единица
$\nu$
частота излучения, Гц
$c$
скорость света, м/с
$k$
постоянная Больцмана, Дж/К
$T$
температура черного тела, К

Условия применения

  • Рассматривается равновесное излучение абсолютно черного тела.
  • Частота достаточно мала по сравнению с kT/h, то есть применим классический длинноволновый предел.
  • Температура выражена в кельвинах.

Ограничения

  • На высоких частотах формула предсказывает бесконечную энергию при интегрировании, что известно как ультрафиолетовая катастрофа.
  • Для полного спектра черного тела нужно использовать формулу Планка.
  • Формула не описывает линии излучения отдельных атомов и неравновесные источники.

Подробное объяснение

Классическая физика рассматривала электромагнитное излучение в полости как набор стоячих волн, каждая из которых в равновесии получает среднюю энергию kT по теореме о равнораспределении. Подсчет числа мод с частотой около nu дает множитель, пропорциональный nu^2. Так возникает формула Рэлея - Джинса.

На малых частотах она совпадает с экспериментом и с длинноволновым пределом формулы Планка. Проблема начинается на больших частотах: число мод растет, средняя энергия каждой моды остается kT, и суммарная энергия при интегрировании расходится. Этот провал получил название ультрафиолетовой катастрофы.

Планк решил проблему, предположив квантование энергии осцилляторов. При больших частотах средняя энергия моды становится намного меньше kT, и спектр убывает. Поэтому формула Рэлея - Джинса важна не только как приближение, но и как исторический указатель на границу применимости классической физики.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что рассматривается чернотельное равновесное излучение.
  2. Убедитесь, что частота находится в длинноволновом классическом пределе.
  3. Подставьте частоту в герцах и температуру в кельвинах.
  4. Используйте формулу только для спектральной плотности по частоте.
  5. Не интегрируйте ее до бесконечных частот как физически полный спектр.

Историческая справка

Лорд Рэлей и Джеймс Джинс получили классическую формулу теплового излучения в начале XX века, опираясь на электромагнитную теорию и статистическую механику. Формула хорошо описывала длинноволновую часть спектра, но приводила к абсурдному росту энергии на больших частотах. Эта ультрафиолетовая катастрофа стала одним из символов кризиса классической физики. В 1900 году Макс Планк предложил формулу, основанную на квантовании энергии, которая согласовалась с экспериментом во всем спектре. Поэтому формула Рэлея - Джинса важна как успешное приближение и как историческая граница классического подхода. Она наглядно показывает, где классическая равнораспределенность перестает работать и почему новая физика была необходима.

Историческая линия формулы

Формула названа в честь Рэлея и Джинса. Ее неудача на больших частотах стала одним из ключевых мотивов для планковской квантовой гипотезы и рождения квантовой физики. черного тела и спектральной плотности излучения. в классической теории.

Пример

При фиксированной температуре формула Рэлея - Джинса дает u пропорционально nu^2. Если частоту увеличить в 2 раза в области, где приближение еще допустимо, спектральная плотность вырастет в 4 раза. Если температуру увеличить в 3 раза при той же частоте, u тоже увеличится в 3 раза. Но это рассуждение справедливо только в длинноволновой области. Если продолжить формулу к очень большим частотам, она будет расти без ограничения, что противоречит эксперименту: реальный спектр черного тела имеет максимум и затем убывает.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать формулу Рэлея - Джинса полноценным законом черного тела для всех частот. Она является классическим пределом и проваливается в ультрафиолетовой области. Вторая ошибка - смешивать запись по частоте и по длине волны без преобразования спектральной плотности. Еще одна ошибка - забывать, что именно неудача этой формулы стала историческим аргументом в пользу квантовой гипотезы.

Практика

Задачи с решением

Зависимость от частоты

Условие. При той же температуре частоту увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменится u по формуле Рэлея - Джинса?

Решение. u пропорциональна nu^2, значит рост равен 3^2 = 9.

Ответ. в 9 раз

Зависимость от температуры

Условие. Температуру увеличили с 300 К до 600 К при той же частоте. Как изменится u?

Решение. u пропорциональна T, поэтому при удвоении T спектральная плотность удвоится.

Ответ. увеличится в 2 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics, раздел Blackbody Radiation and Planck's Hypothesis
  • MIT OpenCourseWare Quantum Physics, blackbody radiation notes

Связанные формулы

Физика

Закон излучения Кирхгофа

$\frac{e_\lambda(T)}{a_\lambda(T)}=e_{\lambda}^{(\text{ч.т.})}(T)$

Закон Кирхгофа для теплового излучения утверждает, что отношение спектральной излучательной способности тела к его поглощательной способности равно излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Физика

Закон Стефана - Больцмана

$P=\sigma S T^4$

Мощность излучения абсолютно черного тела пропорциональна площади поверхности и четвертой степени абсолютной температуры.

Физика

Эффект Доплера для звука

$\nu'=\nu\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}$

Эффект Доплера описывает изменение наблюдаемой частоты волны при движении источника или наблюдателя относительно среды. В акустике это проявляется как изменение высоты слышимого тона.