Физика / Колебания и волны

Интенсивность звука через среднеквадратичное давление

Средняя интенсивность плоской бегущей звуковой волны равна квадрату RMS-давления, делённому на ρc. Для синусоиды вместо RMS можно взять амплитуду давления, но тогда в знаменателе появляется множитель 2.

Опубликовано: 16 октября 2026 г.Обновлено: 16 октября 2026 г.

Формула

I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{\rho c}=\frac{p_{\max}^2}{2\rho c}

График Квадрат давления определяет интенсивность

При удвоении RMS-давления интенсивность становится в четыре раза больше.

Обозначения

$I$: средний поток звуковой энергии на единицу площади, Вт/м²
$pᵣₘₛ$: среднеквадратичное звуковое давление, Па
$pₘₐₓ$: амплитуда синусоидального звукового давления, Па
$ρ$: плотность среды, кг/м³
$c$: скорость звука в среде, м/с

Условия применения

Волна плоская, бегущая в одном направлении; среда однородна, линейна и практически не поглощает звук. RMS усредняется по целому числу периодов или достаточно долгому интервалу стационарного сигнала. Равенство с pₘₐₓ требует синусоидального давления.

Ограничения

По одному давлению нельзя так же определить направленный поток энергии в стоячем поле или рядом со сложным источником. Для несинусоидального сигнала RMS не обязан равняться пику, делённому на √2. Эта формула не оценивает субъективную громкость и не заменяет акустические измерения с учётом частоты.

Подробное объяснение

Мгновенная интенсивность звука равна произведению колебательного давления на скорость частиц вдоль направления переноса энергии: i(t)=p(t)u(t). В плоской бегущей волне u=p/(ρc), поэтому i(t)=p²(t)/(ρc). Среднее берётся после возведения давления в квадрат.

По определению pᵣₘₛ=√⟨p²⟩. Подстановка сразу даёт I=p²ᵣₘₛ/(ρc). Среднее самого давления за период может быть нулём, но средний квадрат положителен; поэтому звук переносит энергию даже без постоянного смещения давления.

Для синусоиды среднее cos² равно 1/2. Отсюда pᵣₘₛ=pₘₐₓ/√2 и I=p²ₘₐₓ/(2ρc). Потеря этой двойки завышает ответ в два раза. Если давление RMS удвоилось в той же среде, интенсивность увеличилась в четыре раза.

Единицы также различаются: давление измеряется в паскалях, интенсивность — в ваттах на квадратный метр. Для однородного потока, перпендикулярного площади S, мощность равна IS. Умножение на площадь не нужно, если в задаче спрашивается именно интенсивность.

Зависимость от ρc объясняет, почему одинаковые давления в разных средах не означают одинаковый поток энергии. В стоячей волне p и u могут быть сдвинуты по фазе, и действительная средняя интенсивность требует усреднения их произведения, а не одного квадрата давления.

Как пользоваться формулой

Уточните, какое давление дано: RMS или пиковая амплитуда; не определяйте это по одному символу p.
Найдите произведение ρc в Па·с/м для той же среды, где измерялось звуковое давление.
Возведите RMS-давление в квадрат и разделите на ρc; для синусоидального пика разделите ещё на два.
Проверьте квадратичную зависимость и единицу Вт/м²; умножайте на площадь только для нахождения мощности.

Историческая справка

Энергетическое описание звука выросло из классической механики колебаний: работу силы нужно связать со скоростью движения частиц и площадью прохождения волны. В XIX веке акустика получила систематическое изложение, в том числе в The Theory of Sound Рэлея 1877–1878 годов. Современные университетские курсы развивают эту линию, отдельно вводя мгновенную мощность, среднюю интенсивность и RMS-давление. Такая последовательность важна для измерительной практики: микрофон даёт сигнал давления, а поток энергии требует модели поля. Материалы UNSW специально сопоставляют амплитудную и RMS-запись и объясняют происхождение множителя 1/2 через среднее квадрата синусоиды. У формулы на странице нет необходимости назначать отдельного единственного изобретателя: это прямой энергетический вывод внутри линейной теории звука.

Историческая линия формулы

Формула следует из механической мощности pSu и определения RMS. Она относится к общей линейной акустике. Упоминание Рэлея обозначает историческую систематизацию теории звука, а не доказанный приоритет конкретной современной записи через среднеквадратичное давление.

Пример

В учебной плоской волне pᵣₘₛ=0,20 Па, а ρc=400 Па·с/м. Средняя интенсивность I=0,20²/400=0,04/400=0,0001 Вт/м². На перпендикулярную площадку 0,50 м² при однородном поле приходится мощность P=IS=0,00005 Вт, или 50 мкВт. Проверим альтернативную запись: у синусоиды pₘₐₓ=0,20√2≈0,28284 Па, поэтому p²ₘₐₓ/(2ρc)=0,08/800=0,0001 Вт/м². Если ошибочно принять 0,20 Па за пиковое давление, получим вдвое меньшую интенсивность. Условие RMS принципиально определяет численный ответ, а не только подпись исходной величины.

Частая ошибка

Не усредняйте давление до возведения в квадрат: среднее p может быть нулём. Не применяйте множитель 1/2 к уже заданному RMS. Не заменяйте интенсивность мощностью без площади. Не делайте вывод о потоке энергии из одного высокого давления в узле скорости стоячей волны.

Практика

Задачи с решением

Задана амплитуда

Условие. Синусоидальное давление имеет амплитуду 0,40 Па; ρc=400 Па·с/м. Найдите I.

Решение. I=0,40²/(2·400)=0,16/800=0,0002 Вт/м².

Ответ. 2·10⁻⁴ Вт/м²

Обратный расчёт

Условие. I=0,01 Вт/м², ρc=400 Па·с/м. Найдите RMS-давление.

Решение. pᵣₘₛ=√(Iρc)=√4=2 Па.

Ответ. 2 Па

Дополнительные источники

https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/sound-impedance-intensity.htm
https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/17-3-sound-intensity
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rayleigh/

Связанные формулы

Физика

Удельный акустический импеданс среды: z = ρc

$z_0=\rho c=\frac{p}{u}$

Удельный характеристический акустический импеданс связывает звуковое давление и колебательную скорость частиц в плоской бегущей волне. Для однородной среды без потерь он равен произведению плотности на скорость звука.

Физика

Уровень громкости звука

$L=10\lg\frac{I}{I_0}$

Уровень звука в децибелах равен 10 lg(I/I0), где I0 обычно принимают равным 10^-12 Вт/м^2 для воздуха. Это помогает быстро выбрать расчетную модель, проверить размерность ответа и связать формулу с соседними темами курса.

Физика

Плоская волна

$\xi=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$

Плоская волна описывается гармонической функцией фазы omega t - kx + phi0. Амплитуда в идеальной модели не зависит от координат фронта.