Физика / Колебания и волны

Удельный акустический импеданс среды: z = ρc

Удельный характеристический акустический импеданс связывает звуковое давление и колебательную скорость частиц в плоской бегущей волне. Для однородной среды без потерь он равен произведению плотности на скорость звука.

Опубликовано: 16 октября 2026 г.Обновлено: 16 октября 2026 г.

Формула

z_0=\rho c=\frac{p}{u}

График Давление и скорость частиц

Для заданного z₀=400 Па·с/м давление растёт линейно с колебательной скоростью.

Обозначения

$z₀$: удельный характеристический импеданс, Па·с/м
$ρ$: равновесная плотность среды, кг/м³
$c$: скорость распространения звука, м/с
$p$: колебательное звуковое давление, Па
$u$: колебательная скорость частиц вдоль распространения, м/с

Условия применения

Рассматривается малая плоская волна, бегущая в одном направлении в однородной среде без существенного поглощения. Давление p — отклонение от равновесного, а u — скорость частиц, не скорость звука. Для такой волны p и u синфазны; можно брать согласованные амплитуды или RMS-значения.

Ограничения

В стоячей волне отношение локальных p и u зависит от координаты и не равно просто ρc. В ближнем поле и средах с потерями импеданс может быть комплексным. Не путайте удельный импеданс p/u с импедансом канала p/U, где U — объёмный расход: у них разные единицы.

Подробное объяснение

Скорость c описывает продвижение возмущения, а u — возвратно-поступательное движение частиц около равновесия. Они физически различны: частицы воздуха не летят вместе со звуком со скоростью сотен метров в секунду. Формула связывает небольшую колебательную скорость с возникающим давлением.

В линейной плоской бегущей волне из уравнения движения и связи сжатия с давлением следует p=ρcu. Плотность определяет инерцию частиц, а c учитывает совместное влияние инерции и упругости среды. Их произведение задаёт давление, необходимое для заданной скорости движения частиц.

Единицы проверяются напрямую: (кг/м³)(м/с)=кг/(м²·с)=Па·с/м. Деление давления на такой импеданс возвращает м/с. Для волн одинакового давления среда с большим z₀ имеет меньшую колебательную скорость и меньшую интенсивность p²RMS/z₀.

Для канала площадью S объёмный расход U=Su. Поэтому характеристический импеданс по расходу равен Z₀=p/U=ρc/S. Если площадь уменьшить вдвое, Z₀ увеличится вдвое, хотя свойство самой среды z₀ останется прежним.

При встречных волнах давления складываются, а продольные скорости имеют разные знаки. Возникают узлы и пучности, поэтому подстановка общего локального p/u в ρc уже не обоснована. Значение ρc характеризует каждую бегущую составляющую отдельно.

Как пользоваться формулой

Определите среду и её состояние; возьмите плотность и скорость звука, относящиеся к одной температуре.
Переведите плотность в кг/м³, а скорость распространения в м/с; не используйте вместо неё скорость частиц.
Перемножьте ρ и c, затем подпишите ответ в Па·с/м; при переводе в МПа·с/м разделите на миллион.
Если находите u=p/z₀, используйте согласованные амплитуды либо RMS-значения давления и скорости.

Историческая справка

Понятие акустического импеданса соединяет механику звуковой волны с удобным описанием отклика среды. Систематическая теория колебаний и распространения звука была развита в XIX веке; два тома The Theory of Sound Рэлея вышли в 1877 и 1878 годах. Это исторический контекст классической акустики, а не указание на авторство Рэлеем каждой современной импедансной записи. В учебных материалах UNSW отношение давления к скорости выводится из решения волнового уравнения и строго отделяется от отношения давления к объёмному расходу. Такое разделение особенно важно в исследованиях труб и музыкальных инструментов: геометрия меняет входной импеданс, хотя плотность и скорость звука в воздухе могут оставаться теми же. Современный язык импедансов позволяет сопоставлять акустические и электрические системы без смешения их физических единиц.

Историческая линия формулы

Соотношение z₀=ρc — результат линейной теории плоских звуковых волн. Рэлея уместно упомянуть как автора классического труда по акустике, но не приписывать ему без отдельного исторического доказательства единоличное введение всех современных определений импеданса.

Пример

Для учебного расчёта воздуха заданы ρ=1,20 кг/м³ и c=343 м/с. Тогда z₀=1,20·343=411,6 Па·с/м. При RMS-давлении p=0,206 Па получаем u=p/z₀=0,206/411,6≈0,0005005 м/с, то есть 0,5005 мм/с. Это намного меньше скорости распространения звука 343 м/с, что согласуется с малостью возмущения. Обратная проверка: 411,6·0,0005005≈0,206 Па. Параметры воздуха здесь заданы условием, а не объявлены универсальными константами: изменение температуры или плотности меняет z₀. Ответ относится к плоской бегущей волне, а не к произвольной точке возле отражающей стены.

Частая ошибка

Не подставляйте атмосферное давление вместо малого звукового давления. Не приравнивайте скорость частиц u к скорости звука c. Не смешивайте Па·с/м и Па·с/м³: второе относится к объёмному расходу. Не применяйте p/u=ρc к полному полю стоячей волны, где давление и скорость могут иметь разные фазы.

Практика

Задачи с решением

Вода

Условие. Для воды заданы ρ=1000 кг/м³ и c=1480 м/с. Найдите z₀.

Решение. z₀=1000·1480=1480000 Па·с/м=1,48 МПа·с/м.

Ответ. 1,48 МПа·с/м

Скорость частиц

Условие. Для бегущей волны z₀=400 Па·с/м и амплитуда давления 0,8 Па. Найдите амплитуду u.

Решение. u=0,8/400=0,002 м/с=2 мм/с.

Ответ. 2 мм/с

Дополнительные источники

https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/sound-impedance-intensity.htm
https://animations.physics.unsw.edu.au/jw/compliance-inertance-impedance.htm
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rayleigh/

Связанные формулы

Физика

Скорость звука в газах

$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

Скорость звука в идеальном газе равна корню из gamma RT/M. Она зависит от температуры, молярной массы газа и показателя адиабаты.

Физика

Плоская волна

$\xi=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$

Плоская волна описывается гармонической функцией фазы omega t - kx + phi0. Амплитуда в идеальной модели не зависит от координат фронта.

Физика

Интенсивность звука через среднеквадратичное давление

$I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{\rho c}=\frac{p_{\max}^2}{2\rho c}$

Средняя интенсивность плоской бегущей звуковой волны равна квадрату RMS-давления, делённому на ρc. Для синусоиды вместо RMS можно взять амплитуду давления, но тогда в знаменателе появляется множитель 2.