Математика / Алгебра

Коэффициент произведения одночленов

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 7 класс Алгебра Есть историческая справка

Формула

(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2

Обозначения

$c_1, c_2$: числовые коэффициенты одночленов
$M_1, M_2$: буквенные части одночленов

Условия применения

Оба множителя являются одночленами или приводятся к одночленам.
Буквенные множители записываются в степенях с натуральными показателями.
После умножения одинаковые основания объединяются сложением показателей.

Ограничения

Формула не говорит о сложении одночленов: при сложении коэффициенты складываются только у подобных одночленов.
Нельзя перемножать показатели степеней при умножении одинаковых оснований; показатели складываются.
Если одночлен содержит переменную в знаменателе, нужны правила рациональных выражений и ограничения.

Подробное объяснение

Одночлен в стандартном виде состоит из числового коэффициента и буквенной части. При умножении двух одночленов можно переставить множители так, чтобы числа оказались рядом с числами, а одинаковые буквы - рядом с такими же буквами.

Это опирается на переместительное и сочетательное свойства умножения. Например, 3x^2y · (-5xy^3) можно записать как 3 · (-5) · x^2 · x · y · y^3. Числовые множители дают коэффициент, а буквенные части упрощаются по правилам степеней.

Коэффициент произведения равен произведению коэффициентов. Если один коэффициент отрицателен, результат отрицателен; если оба отрицательны, результат положителен. Нулевой коэффициент делает весь одночлен равным нулю.

Буквенная часть требует отдельной внимательности. При умножении x^2 и x^5 получается x^7, потому что показатели складываются. Это не степень степени, где показатели перемножаются. Поэтому важно понимать, какое именно действие выполняется.

В 7 классе это правило подготавливает умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен. Любой такой пример распадается на несколько произведений одночленов, каждое из которых приводится к стандартному виду.

Алгебраическое преобразование считается надежным только тогда, когда сохранена структура выражения: скобки, знаки, показатели степеней и ограничения на знаменатели. Поэтому после применения формулы полезно выполнить короткую проверку подстановкой удобного числа или обратным раскрытием скобок.

Как пользоваться формулой

Разделите каждый одночлен на коэффициент и буквенную часть.
Перемножьте числовые коэффициенты с учетом знаков.
Сгруппируйте одинаковые буквенные основания.
Сложите показатели степеней у одинаковых оснований.
Запишите результат в стандартном виде: коэффициент перед буквенной частью.
Проверьте, не появился ли нулевой коэффициент.

Историческая справка

Понятие одночлена связано с развитием буквенной алгебры. Пока выражения записывали словами, произведения чисел и неизвестных описывались длинными фразами. Постепенное введение букв и степеней позволило записывать такие произведения компактно и выполнять с ними общие преобразования.

В XVI веке Франсуа Виет сделал важный шаг к систематической буквенной алгебре, а в XVII веке Декартовская запись степеней стала близкой к современной. После этого правила умножения одночленов естественно оформились как сочетание правил умножения чисел и степеней.

В школьной алгебре 7 класса стандартный вид одночлена нужен для порядка в вычислениях. Исторически это отражает общий переход математики от отдельных числовых примеров к преобразованию выражений произвольного вида.

В учебниках нового времени эти правила закрепились как стандартная техника преобразований. Их историческое значение не в отдельной дате открытия, а в переходе от числовых примеров к общим буквенным равенствам, которые можно применять к целым классам выражений.

Пример

Дано: привести к стандартному виду произведение (-4a^2b^3)(-3ab^2c). Сначала перемножаем коэффициенты: (-4) · (-3) = 12. Затем объединяем одинаковые буквы: a^2 · a = a^3, b^3 · b^2 = b^5, c остается в первой степени. Подстановка в правило: (-4a^2b^3)(-3ab^2c) = 12a^3b^5c. Ответ: 12a^3b^5c. Проверка знака: произведение двух отрицательных коэффициентов положительно. Показатели у одинаковых букв сложились, поэтому степени a и b увеличились. Развернутая запись решения. Условие: Перемножьте 3x^2y и -5xy^3. Дано: c_1, c_2 - числовые коэффициенты одночленов; M_1, M_2 - буквенные части одночленов. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: Коэффициент: 3 · (-5) = -15. Буквы: x^2 · x = x^3, y · y^3 = y^4. Получаем -15x^3y^4. Ответ: -15x^3y^4. Проверка выполняется обратным раскрытием, сворачиванием или подстановкой допустимого значения переменной. Исходная и полученная записи должны давать одинаковое число; это быстро обнаруживает потерянный знак, скобку или степень.

Частая ошибка

Часто ученики складывают коэффициенты вместо умножения: 3x · 5x не равно 8x^2. Другая ошибка - перемножать показатели у одинаковых оснований: x^2 · x^3 дает x^5, а не x^6. Знак произведения тоже требует проверки: отрицательный коэффициент меняет знак только по обычным правилам умножения чисел. Для самопроверки удобно подставить простое значение переменной, например 1 или 2, если оно допустимо. Исходное и преобразованное выражения должны дать один и тот же результат; иначе потерян знак, скобка или показатель степени.

Практика

Задачи с решением

Произведение одночленов

Условие. Перемножьте 3x^2y и -5xy^3.

Решение. Коэффициент: 3 · (-5) = -15. Буквы: x^2 · x = x^3, y · y^3 = y^4. Получаем -15x^3y^4.

Ответ. -15x^3y^4

Коэффициент результата

Условие. Найдите коэффициент произведения -2a^3b и 7ab^2.

Решение. Коэффициенты перемножаются: -2 · 7 = -14.

Ответ. Коэффициент равен -14.

Дополнительные источники

ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: преобразование одночленов
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Математика

Степень одночлена

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

Математика

Произведение степеней с одинаковым основанием

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.

Математика

Умножение многочлена на одночлен

$a(b + c) = ab + ac$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.