Физика / Термодинамика
Коэффициент полезного действия теплового двигателя
КПД теплового двигателя показывает долю подведенной теплоты, превращенную в работу. Для полного цикла без отдельно учитываемых механических потерь η = A/Q1 = (Q1 − Q2)/Q1.
Формула
Рабочее тело получает Q1, отдает положительное количество теплоты Q2 и совершает работу A. За полный цикл ΔU = 0, поэтому Q1 = A + Q2.
В этой модели работа цикла является выходом; отдельные механические потери не выделены.
Обозначения
- $\eta$
- термический КПД цикла; в процентах результат умножают на 100%, доля
- $A$
- результирующая работа двигателя за полный цикл в принятой модели, Дж
- $Q_1$
- положительное количество теплоты, полученное за цикл, Дж
- $Q_2$
- положительный модуль количества теплоты, отданного за цикл, Дж
Условия применения
- Q1, Q2 и A относятся к одному полному циклу или одинаковому числу полных циклов. Рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.
- Q1 > 0. Для двигателя, совершающего положительную работу, 0 ≤ Q2 < Q1 в алгебраической модели; у физически осуществимого циклического теплового двигателя Q2 > 0.
- Работа A = Q1 − Q2 считается выходной работой модели без отдельно выделенных механических потерь. Все энергии выражены в одинаковых единицах.
Ограничения
- На отдельном участке цикла часть теплоты может изменять внутреннюю энергию. Тогда автоматически считать A = Q1 − Q2 нельзя: это равенство относится к полному энергетическому балансу цикла.
- Если после работы рабочего тела отдельно учитываются трение или другие потери, полезная работа на валу меньше Q1 − Q2. Практический КПД нужно считать по фактически полезной работе и выбранным затратам энергии.
- Термический КПД по подведенной теплоте и общий КПД по энергии топлива могут различаться. Равенство Q1 = qm допустимо лишь при явно принятой передаче всей энергии полного сгорания рабочему телу.
Подробное объяснение
Тепловой двигатель за цикл получает теплоту Q1, совершает работу и отдает часть теплоты Q2. В этой записи Q1 и Q2 — положительные количества, поэтому отведенную теплоту вычитают. КПД η = A/Q1 показывает долю подведенной энергии, ставшую результирующей работой. Значение 0,3 означает 30 Дж работы на каждые 100 Дж полученной теплоты.
Равенство A = Q1 − Q2 следует из сохранения энергии за полный цикл. Рабочее тело возвращается в исходное состояние, его внутренняя энергия не накапливается: ΔU = 0. Если рассматривается только нагрев или расширение, возврата в исходное состояние может не быть. На таком отдельном этапе часть энергии идет на изменение U, и простого вычитания двух потоков недостаточно.
Процент и доля описывают один КПД, но подставляются по-разному. В формуле A = ηQ1 для 25% нужно использовать η = 0,25. Обратные выражения: Q1 = A/η при η > 0 и Q2 = Q1(1 − η). Если известны только теплоты, удобно вычислять η = 1 − Q2/Q1.
Полезная работа реального устройства требует ясной границы расчета. В модели без отдельно учитываемого трения работа цикла целиком считается выходом. Если часть этой работы теряется в передаче, полезный результат на валу меньше; подставить Q1 − Q2 вместо него без учета потерь нельзя.
В задачах о топливе величина qm означает энергию полного сгорания. Общий КПД установки можно определять как Aполезн/(qm). Это не обязательно тот же КПД, что A/Q1: часть энергии топлива может не попасть в рабочее тело. Поэтому перед расчетом нужно прочитать, какие именно затраты и какой полезный результат названы в условии.
Как пользоваться формулой
- Определите границу расчета: полный цикл двигателя или работа установки по топливу; запишите, что считается полезным выходом.
- Проверьте, что теплота Q1 положительна, а работа и отведенная теплота относятся к тем же полным циклам и тем же единицам.
- Если известны Q1 и Q2, вычислите работу A = Q1 − Q2 только при возврате рабочего тела в исходное состояние и указанной модели потерь.
- Разделите работу на Q1; при обратном расчете переведите процент в долю, например 30% = 0,30, до подстановки в A = ηQ1.
- Проверьте, что у работающего теплового двигателя КПД больше нуля и меньше единицы; ответ в процентах получите умножением на 100%.
Историческая справка
Развитие паровых машин поставило перед инженерами вопрос: сколько работы можно получить из заданного расхода топлива и почему машины отличаются эффективностью. В 1824 году Сади Карно опубликовал исследование движущей силы огня, где рассмотрел идеализированную тепловую машину. Его работа стала известнее после математического изложения Эмиля Клапейрона в 1834 году. Позже идеи тепловых циклов вошли в термодинамику Клаузиуса и Томсона.
Современную школьную формулу нельзя буквально переносить в первоначальную теорию Карно: представления о теплоте и работе в XIX веке менялись. В нынешнем изложении баланс A = Q1 − Q2 опирается на сохранение энергии и возвращение рабочего тела в исходное состояние. Отношение A/Q1 оценивает результат работы двигателя без необходимости подробно описывать каждое положение поршня.
Так историческая задача сравнения машин превратилась в расчетную характеристику цикла. Само определение КПД как полезной доли затрат шире одной тепловой машины. Его не следует смешивать с формулой предельного КПД обратимого цикла Карно, которая требует дополнительных условий и температур нагревателя и холодильника.
Историческая линия формулы
КПД является общим инженерным отношением результата к затратам, а не личным законом одного ученого. Карно связан с исследованием предельных возможностей тепловых циклов; Клапейрон, Клаузиус и Томсон — с развитием этих идей. Школьная формула через Q1 и Q2 записана в современном энергетическом подходе и не равнозначна отдельной формуле цикла Карно.
Пример
За полный цикл рабочее тело двигателя получает 5 кДж теплоты и отдает 3,5 кДж. Отдельные механические потери в модели не учитываются. Найдем работу и КПД. Дано: Q1 = 5 кДж, Q2 = 3,5 кДж, ΔU = 0. Работа за цикл A = Q1 − Q2 = 5 − 3,5 = 1,5 кДж. КПД η = A/Q1 = 1,5/5 = 0,30 = 30%. Ответ: работа 1,5 кДж, КПД 30%. Проверка баланса: 1,5 + 3,5 = 5 кДж; вся полученная энергия учтена. В отношении энергий кДж сокращаются, поэтому перевод в джоули не изменит КПД. Из каждых 100 Дж подведенной теплоты 30 Дж стали работой, а 70 Дж отданы; это не означает, что энергия исчезла.
Частая ошибка
Не делите подведенную теплоту на работу: КПД — полезная доля затрат, а не обратное отношение. Не подставляйте 30 вместо 0,30 в A = ηQ1. Не называйте Q2 отрицательным числом в записи Q1 − Q2: здесь уже используется положительный модуль отведенной теплоты. Не применяйте баланс полного цикла к одному нагреву рабочего тела. При отдельных механических потерях различайте работу цикла и полезную работу на выходном валу.
Практика
Задачи с решением
Работа и отведенная теплота
Условие. Термический КПД двигателя равен 25%. За полный цикл он получает 80 кДж. Отдельные механические потери не учитываются. Найдите работу и отведенную теплоту.
Решение. η = 0,25. A = ηQ1 = 0,25 · 80 = 20 кДж. Q2 = Q1 − A = 80 − 20 = 60 кДж.
Ответ. Работа 20 кДж; отведенная теплота 60 кДж
Проверка: (80 − 60)/80 = 0,25. Возврат рабочего тела в исходное состояние позволяет замкнуть энергетический баланс.
КПД установки по топливу
Условие. Установка сожгла 0,2 кг топлива с удельной теплотой сгорания 40 МДж/кг и отдала полезную работу 2 МДж. Найдите общий КПД по энергии полного сгорания топлива.
Решение. Энергия топлива Qт = qm = 40 · 0,2 = 8 МДж. ηобщ = Aполезн/Qт = 2/8 = 0,25 = 25%.
Ответ. 25%
Здесь знаменатель — энергия топлива. Не требуется утверждать, что все 8 МДж поступили рабочему телу: именно поэтому результат назван общим КПД установки.
Калькулятор
КПД (доля; для процентов ×100)
Введите величины в указанных единицах. Условия модели приведены в статье.
- Пустые поля не считаются нулем. Смысл знаков и область применимости указаны в объяснении.
Дополнительные источники
- OpenStax, College Physics 2e, 15.3 Heat Engines and Their Efficiency: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/15-3-introduction-to-the-second-law-of-thermodynamics-heat-engines-and-their-efficiency
- MacTutor, University of St Andrews, Sadi Carnot: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Carnot_Sadi/
- ФРП Физика 7–9, 2025, с. 9: https://edsoo.ru/wp-content/uploads/2025/07/2025_ooo_frp_fizika-7-9_baz.pdf
Связанные формулы
Физика
Количество теплоты при сгорании топлива
Количество теплоты при сгорании топлива равно произведению удельной теплоты сгорания на массу топлива и показывает запас выделяемой энергии.
Физика
Механическая работа при постоянной силе
Механическая работа постоянной силы равна произведению силы на путь, пройденный в направлении действия этой силы, и измеряется в джоулях.
Физика
Механическая мощность
Мощность показывает, какая работа выполняется за единицу времени, то есть насколько быстро передается энергия или выполняется механическое действие.