Все формулы РФ

Машиностроение / Передачи

Передаточное отношение зубчатой пары по числу зубьев

Формула показывает, во сколько раз ведомое зубчатое колесо имеет больше зубьев, чем ведущее, и поэтому во сколько раз идеальная передача уменьшает угловую скорость и увеличивает крутящий момент.

Опубликовано: Обновлено:

ПередачиДетали машинЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениямиМеханика

Формула

$$i=\frac{z_2}{z_1}$$
schematic Ведущее и ведомое зубчатые колеса

Схема двух зацепленных колес с подписями z1 у малого ведущего колеса, z2 у большого ведомого колеса и стрелками вращения.

Чем больше зубьев у ведомого колеса относительно ведущего, тем больше передаточное отношение ступени.

Обозначения

$i$
передаточное отношение от ведущего колеса к ведомому
$z_1$
число зубьев ведущего колеса, зубьев
$z_2$
число зубьев ведомого колеса, зубьев

Условия применения

  • Колеса образуют одну внешнюю или внутреннюю зубчатую пару и имеют одинаковый модуль зацепления.
  • Число зубьев задано для фактически находящихся в зацеплении колес, а не для промежуточных деталей другой ступени.
  • Расчет относится к кинематике идеальной передачи и не учитывает потери на трение, деформации и люфт.

Ограничения

  • Формула не проверяет прочность зубьев, контактные напряжения, шум, износ и допустимость выбранного числа зубьев по подрезанию.
  • Для многоступенчатого редуктора общее передаточное отношение равно произведению отношений отдельных ступеней.
  • Если в передаче есть ремень, цепь, червяк или планетарная схема, нужно использовать соответствующую формулу для этой кинематической пары.

Подробное объяснение

Зубчатая передача сохраняет равенство окружных скоростей в точке делительного зацепления. За один и тот же промежуток времени зубья ведущего колеса проходят такое же число шагов зацепления, какое принимает ведомое колесо. Поэтому колесо с большим числом зубьев совершает меньше оборотов, а колесо с меньшим числом зубьев — больше оборотов.

Число зубьев напрямую связано с делительным диаметром при одинаковом модуле: d = mz. Если модуль у двух колес одинаковый, отношение делительных диаметров равно отношению чисел зубьев. Поэтому для простой пары можно считать передаточное отношение только по z1 и z2, не измеряя диаметры отдельно.

Важно понимать принятую ориентацию отношения. В расчетах редукторов i обычно больше единицы для понижающей передачи и равно z2 / z1, если первое колесо ведущее, а второе ведомое. Направление вращения во внешнем зацеплении меняется, но знак направления в этой простой формуле обычно не учитывают, потому что она описывает модуль кинематического отношения.

Если между ведущим и ведомым колесом стоит паразитная шестерня, она меняет направление вращения и расстояние между валами, но при простой цепочке не меняет итоговое отношение крайних колес. Для нескольких ступеней отношения перемножают: каждая ступень вносит свой множитель, а общее i уже используют для расчета скорости и момента.

Формула дает только кинематический результат. После выбора чисел зубьев проверяют минимальное число зубьев без подрезания, модуль, ширину венца, контактную прочность, изгиб зуба, смазку и шум. Поэтому i — это старт расчета передачи, а не полное проектное решение.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, какое колесо является ведущим, а какое ведомым в рассматриваемой ступени.
  2. Запишите число зубьев ведущего колеса z1 и ведомого колеса z2.
  3. Разделите z2 на z1 и получите передаточное отношение i.
  4. Для выходной скорости разделите скорость ведущего вала на i, если речь идет о простой понижающей внешней паре.
  5. После кинематического расчета проверьте прочность зубьев, модуль, межосевое расстояние и допустимую частоту вращения.

Историческая справка

Идея связывать скорость вращения зубчатых колес с числом зубьев появилась вместе с ранними механизмами часов, мельниц и подъемных устройств. В античных и средневековых машинах мастера уже практически понимали, что большое колесо с большим числом зубьев вращается медленнее малого, хотя записывали это не в современной символике. В XIX веке, когда развивались станкостроение, паровые машины и промышленная стандартизация, расчет зубчатых передач стал частью инженерной графики и сопротивления материалов. В учебниках по деталям машин формула отношения зубьев закрепилась как первый кинематический шаг перед расчетом модуля, изгиба зуба и контактной прочности. Сегодня она остается простой, но обязательной проверкой любого редуктора: без правильной кинематики невозможно корректно перейти к нагрузкам, материалам и ресурсу.

Историческая линия формулы

Формула не связана с одним автором. Это результат практического развития зубчатых механизмов и последующей инженерной формализации в теории машин и механизмов. В учебной традиции ее обычно относят к базовым соотношениям кинематики зубчатого зацепления.

Пример

Дано: ведущее колесо имеет z1 = 20 зубьев, ведомое колесо имеет z2 = 60 зубьев. Подставляем числа в формулу: i = z2 / z1 = 60 / 20 = 3. Ответ: передаточное отношение пары равно 3. Это означает, что при идеальном зацеплении ведомое колесо вращается в 3 раза медленнее ведущего. Если ведущий вал делает 1500 об/мин, то ведомый вал этой ступени будет делать 1500 / 3 = 500 об/мин. В реальном редукторе после такого расчета отдельно проверяют модуль, ширину венца, материал колес и допустимые напряжения, потому что одно только отношение зубьев не гарантирует долговечность передачи под нагрузкой.

Частая ошибка

Частая ошибка состоит в перестановке z1 и z2: для понижающей пары отношение считают как число зубьев ведомого колеса, деленное на число зубьев ведущего. Еще одна ошибка — применять формулу к двум колесам, которые не зацепляются напрямую. В паразитной шестерне ее зубья меняют направление вращения, но не входят в итоговое отношение простой пары. Также нельзя по одному i делать вывод о прочности, КПД и ресурсе редуктора.

Практика

Задачи с решением

Пара колес редуктора

Условие. Ведущее колесо имеет 18 зубьев, ведомое — 54 зуба. Найдите передаточное отношение ступени.

Решение. Используем i = z2 / z1. Подставляем: i = 54 / 18 = 3.

Ответ. Передаточное отношение равно 3.

Выходная скорость ступени

Условие. Ведущее колесо с 24 зубьями вращается со скоростью 1200 об/мин, ведомое имеет 72 зуба. Найдите i и скорость ведомого колеса.

Решение. Передаточное отношение i = 72 / 24 = 3. Для идеальной понижающей пары n2 = n1 / i = 1200 / 3 = 400 об/мин.

Ответ. i = 3, скорость ведомого колеса равна 400 об/мин.

Дополнительные источники

  • Budynas and Nisbett, Shigley Mechanical Engineering Design.
  • Machinery Handbook, 31st edition.
  • Norton, Design of Machinery.

Связанные формулы

Машиностроение

Угловая скорость выходного вала редуктора

$\omega_2=\frac{\omega_1}{i}$

Формула связывает входную и выходную угловые скорости редуктора: при передаточном отношении i выходной вал идеальной понижающей передачи вращается в i раз медленнее входного.