Финансы / Кредиты и ипотека

Остаток долга по аннуитетному кредиту

Остаток долга по аннуитетному кредиту: формула B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} помогает посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r}

Схема Остаток после части платежей

Временная шкала показывает начальный долг, несколько одинаковых платежей и остаток после k-го платежа.

Остаток в аннуитете уменьшается медленнее в начале срока из-за процентной части платежей.

Обозначения

$B_k$: остаток долга после k платежей, рубли или другая валюта
$D_0$: начальная сумма кредита, рубли или другая валюта
$PMT$: равный аннуитетный платеж, рубли или другая валюта за период
$r$: ставка за период платежа, доля единицы за период
$k$: число уже внесенных платежей, периоды

Когда применять

Практический сценарий страницы — посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. Область: кредитных и ипотечных расчетов. Модель задают до подстановки: Платежи равные и вносятся в конце каждого периода. Затем сверяют обозначения: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта); PMT — равный аннуитетный платеж (рубли или другая валюта за период). Чужая строка, группа, лист или единица — повод остановить расчет.

Условия применения

Платежи равные и вносятся в конце каждого периода.
Значения для расчета согласованы по смыслу: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта).
Единицы, период наблюдения, лист таблицы или расчетная схема выбраны до подстановки.

Ограничения

Формула относится к области кредитных и ипотечных расчетов и не заменяет выбор модели.
Если данные взяты из разных источников или периодов, результат нельзя сравнивать напрямую.
Округление промежуточных строк допустимо только после проверки единиц и масштаба.

Подробное объяснение

Смысл страницы «Остаток долга по аннуитетному кредиту» — посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. Формула B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} нужна не сама по себе, а как короткая модель из области кредитных и ипотечных расчетов. Перед вычислением проверяют условие: Платежи равные и вносятся в конце каждого периода. Обозначения читают до арифметики: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта); PMT — равный аннуитетный платеж (рубли или другая валюта за период); r — ставка за период платежа (доля единицы за период). Похожую величину с другой базой не берут автоматически. Такой шаг особенно важен в материалах, где рядом стоят близкие формулы. Рабочая ситуация: для ипотеки отдельно задают ставку, срок, первый взнос и график досрочного погашения, потому что каждый параметр меняет денежный поток. Достаточно одной подстановки и проверки. Финансовая проверка: сумма погашения основного долга должна сходиться к начальному долгу, остаток не может стать отрицательным без переплаты, а ставка должна соответствовать периоду; для этой записи отдельно сверяют B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта). После получения результата его сверяют с ограничениями. Знак, единица и порядок величины должны соответствовать исходной модели. Если проверка не проходит, исправляют не финальную строку, а выбор данных.

Как пользоваться формулой

Сформулируйте, что именно нужно найти, и выберите запись B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r}.
Выпишите исходные величины: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта); PMT — равный аннуитетный платеж (рубли или другая валюта за период).
Проверьте единицы, период, диапазон таблицы или геометрическую схему.
Подставьте значения без раннего округления.
Сверьте знак, масштаб и поведение результата при изменении главного параметра.

Историческая справка

История записи «Остаток долга по аннуитетному кредиту» связана с практикой кредитных и ипотечных расчетов. Такие формулы закреплялись потому, что помогали посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. В учебниках и справочниках постепенно стабилизировались обозначения: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта). Современная форма B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} ценна тем, что дает короткий путь от условия к проверяемому результату. Для этой страницы историческая справка полезна еще и как защита от неверной аналогии: Платежи равные и вносятся в конце каждого периода. В разных источниках могут меняться буквы, порядок записи и единицы, но расчетная потребность остается прежней: сначала выбрать модель, затем проверить данные и только потом считать. Исторический блок здесь нужен не для украшения, а для понимания модели и ее границ.

Историческая линия формулы

У записи «Остаток долга по аннуитетному кредиту» нет одного бытового автора. Контекст — развитие кредитных и ипотечных расчетов. Также важны учебные курсы и рабочие методики. Формула B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} здесь дана как современная расчетная запись. Имена из источников уточняют историю метода, но не заменяют условия применения.

Пример

Пример: кредит 1 200 000 рублей на 36 месяцев сравнивают по платежу, переплате и остаткам долга, не смешивая комиссию с телом кредита. Цель для «Остаток долга по аннуитетному кредиту» — посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. Сначала делают мини-таблицу параметров и отмечают источник каждого числа. Рабочие величины: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта); PMT — равный аннуитетный платеж (рубли или другая валюта за период). Дальше данные подставляют в B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} без смены модели по ходу решения. Финансовая проверка: сумма погашения основного долга должна сходиться к начальному долгу, остаток не может стать отрицательным без переплаты, а ставка должна соответствовать периоду; для этой записи отдельно сверяют B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта). В конце меняют один ключевой параметр мысленно. Направление изменения должно совпасть со смыслом задачи.

Частая ошибка

Формула B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r} не спасает, если исходная модель выбрана неверно. Сверьте обозначения: B_k — остаток долга после k платежей (рубли или другая валюта); D_0 — начальная сумма кредита (рубли или другая валюта); PMT — равный аннуитетный платеж (рубли или другая валюта за период). Частые ошибки — сравнить месячную и годовую ставку без пересчета, забыть комиссии, округлять платежи до копеек на каждом шаге и использовать старый график после досрочного платежа. Если ответ выглядит правдоподобно, проверьте его источник. Порядок простой: символ, значение, единица, источник, подстановка, округление.

Практика

Задачи с решением

Проверить исходные данные

Условие. Для «Остаток долга по аннуитетному кредиту» заданы величины из условия. Нужно посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа.

Решение. Составляем таблицу символов, значений, единиц и источников. Убираем данные, которые относятся к другой модели.

Ответ. К расчету оставлены только согласованные исходные величины.

Выполнить подстановку

Условие. Данные согласованы, требуется применить B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r}.

Решение. Подставляем значения, сохраняем промежуточную точность и отдельно проверяем единицу результата.

Ответ. Ответ принимается только после проверки знака, масштаба и смысла.

Дополнительные источники

OpenStax Principles of Finance, раздел Loan Amortization
CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Amortizing Loans
Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, appendix on time value of money
OpenStax Principles of Finance, chapters on interest rates and loan amortization
CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Time Value of Money

Связанные формулы

Финансы

Аннуитетный платеж по приведенной стоимости

$PMT=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$

Формула аннуитетного платежа показывает размер равного периодического платежа, который соответствует заданной текущей сумме, ставке и числу периодов.

Финансы

Платеж после досрочного погашения кредита

$PMT_{new}=(B_k-E)\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-m}}$

Платеж после досрочного погашения кредита: формула PMT_{new}=(B_k-E)\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-m}} помогает посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Финансы

Переплата по кредиту

$Overpay=\sum_{k=1}^{n}P_k+F-D_0$

Переплата по кредиту: формула Overpay=\sum_{k=1}^{n}P_k+F-D_0 помогает посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Финансы

Дифференцированный платеж по кредиту

$P_k=\frac{D_0}{n}+B_{k-1}\cdot r$

Дифференцированный платеж по кредиту: формула P_k=\frac{D_0}{n}+B_{k-1}\cdot r помогает посчитать платеж, переплату, остаток долга или эффект досрочного платежа. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.