Все формулы РФ

Финансы / Кредиты и ипотека

Остаток долга по аннуитетному кредиту

Формула показывает остаток основного долга после k аннуитетных платежей при постоянной ставке и равном платеже.

Опубликовано: Обновлено:

Кредиты и ипотекаБазовые финансовые расчетыАннуитетыСтоимость денег во времениКалькулятор

Формула

$$B_k=D_0(1+r)^k-PMT\cdot\frac{(1+r)^k-1}{r}$$
Схема Остаток после части платежей

Временная шкала показывает начальный долг, несколько одинаковых платежей и остаток после k-го платежа.

Остаток в аннуитете уменьшается медленнее в начале срока из-за процентной части платежей.

Обозначения

$B_k$
остаток долга после k платежей, рубли или другая валюта
$D_0$
начальная сумма кредита, рубли или другая валюта
$PMT$
равный аннуитетный платеж, рубли или другая валюта за период
$r$
ставка за период платежа, доля единицы за период
$k$
число уже внесенных платежей, периоды

Условия применения

  • Платежи равные и вносятся в конце каждого периода.
  • Ставка r постоянна и относится к периоду платежа.
  • PMT рассчитан для того же кредита, срока и ставки.
  • Нет просрочек, комиссий, досрочных погашений и изменения графика.

Ограничения

  • Формула не подходит для дифференцированного графика, где тело долга гасится равными долями.
  • Если были досрочные погашения, новый остаток нужно пересчитать с учетом фактической даты и суммы.
  • Банковский график может отличаться из-за округлений и начисления процентов по фактическим дням.
  • При r = 0 остаток считается линейно: B_k = D0 - PMT*k.

Подробное объяснение

Остаток аннуитетного кредита можно понимать как результат двух противоположных процессов. Начальный долг D0 как будто растет под ставку r в течение k периодов. Одновременно каждый внесенный платеж уменьшает долг, и эти платежи тоже переносятся к моменту k как накопленная стоимость серии платежей.

Первая часть формулы D0(1+r)^k показывает, каким был бы долг без платежей. Вторая часть PMT*((1+r)^k - 1)/r показывает накопленный эффект всех уже внесенных платежей к тому же моменту. Разность и дает фактический остаток.

Формула особенно полезна в середине срока. В аннуитетном графике общий платеж постоянен, но его структура меняется: сначала проценты занимают большую долю, потом основная часть растет. Поэтому остаток долга снижается неравномерно, хотя платеж каждый месяц одинаковый.

Для досрочного погашения остаток является отправной точкой. Сначала нужно узнать долг на дату операции, затем вычесть досрочную сумму и пересчитать либо новый платеж, либо новый срок. Без корректного остатка вся логика досрочного погашения ломается.

От формулы аннуитетного платежа эта формула отличается задачей. Платеж отвечает, сколько платить регулярно. Остаток отвечает, сколько еще остается вернуть после части уже внесенных платежей.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что график аннуитетный и платеж PMT постоянен.
  2. Переведите ставку к периоду платежа.
  3. Определите число уже внесенных платежей k.
  4. Посчитайте рост начального долга D0(1+r)^k.
  5. Посчитайте накопленный эффект внесенных платежей.
  6. Вычтите эффект платежей из выросшего долга.

Историческая справка

Формула остатка долга появилась из практики амортизационных таблиц, где банк и заемщик должны видеть не только платеж, но и непогашенный остаток после каждого периода. До электронных таблиц такие графики строились по строкам: проценты, часть тела, новый остаток. Алгебраическая формула остатка стала компактным способом получить ту же величину через будущую стоимость долга и накопленную стоимость платежей. В ипотеке, лизинге и потребительском кредитовании остаток важен для досрочного погашения, продажи объекта, рефинансирования и оценки риска. Современные калькуляторы обычно скрывают формулу, но сам принцип остается прежним: долг уменьшается только на часть платежа, оставшуюся после процентов.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы остатка аннуитетного долга нет. Она является следствием формул сложных процентов и будущей стоимости аннуитета, примененных к банковскому графику амортизации кредита и расчету непогашенного основного долга.

Пример

Кредит 1 000 000 рублей выдан на 24 месяца под 1% в месяц. Аннуитетный платеж равен PMT = 1 000 000 * 0,01 / [1 - 1,01^(-24)] ≈ 47 073,47 рубля. После 12 платежей остаток: B12 = 1 000 000*1,01^12 - 47 073,47 * (1,01^12 - 1)/0,01 ≈ 529 815,58 рубля. Проверка смысла: за год заемщик заплатил больше 564 000 рублей, но часть платежей ушла на проценты, поэтому основной долг уменьшился не на всю сумму платежей.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать остаток как D0 - PMT*k. Это игнорирует процентную часть платежа и сильно занижает долг в начале срока. Вторая ошибка - использовать k как число месяцев, а ставку как годовую. Третья ошибка - подставить платеж из другого срока или другой ставки. Еще одна ошибка - ожидать линейного снижения долга: в аннуитете тело долга в начале погашается медленнее, а к концу быстрее.

Практика

Задачи с решением

Остаток через год

Условие. Кредит 1 000 000 рублей, 24 месяца, ставка 1% в месяц, платеж 47 073,47 рубля. Найдите остаток после 12 платежей.

Решение. B12 = 1 000 000*1,01^12 - 47 073,47*(1,01^12 - 1)/0,01 ≈ 529 815,58 рубля.

Ответ. примерно 529 815,58 рубля

Остаток при нулевой ставке

Условие. Кредит 120 000 рублей на 12 месяцев без процентов, платеж 10 000 рублей. Какой остаток после 5 платежей?

Решение. При r = 0 остаток считается линейно: B5 = 120 000 - 10 000*5 = 70 000 рублей.

Ответ. 70 000 рублей

Дополнительные источники

  • OpenStax Principles of Finance, раздел Loan Amortization
  • CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Amortizing Loans
  • Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, appendix on time value of money

Связанные формулы

Финансы

Аннуитетный платеж по приведенной стоимости

$PMT=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$

Формула аннуитетного платежа показывает размер равного периодического платежа, который соответствует заданной текущей сумме, ставке и числу периодов.

Финансы

Платеж после досрочного погашения кредита

$PMT_{new}=(B_k-E)\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-m}}$

Формула пересчитывает новый аннуитетный платеж после досрочного погашения, если срок оставляют прежним, а долг уменьшают на внесенную сумму.

Финансы

Переплата по кредиту

$Overpay=\sum_{k=1}^{n}P_k+F-D_0$

Переплата по кредиту показывает, сколько заемщик заплатит сверх полученной суммы кредита с учетом всех платежей и выбранных комиссий.

Финансы

Дифференцированный платеж по кредиту

$P_k=\frac{D_0}{n}+B_{k-1}\cdot r$

Формула дифференцированного платежа делит основной долг на равные части, а проценты каждый период считает от текущего остатка долга.