Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Период колебаний пружинного маятника

Период колебаний пружинного маятника равен 2π√(m/k): он увеличивается с массой груза и уменьшается при большей жесткости пружины.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по физике за 9 классКолебания и волныШкольные формулы по физикеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Схема пружинного маятника Груз и возвращающая сила

Показан груз на пружине, положение равновесия и смещение; стрелка силы упругости направлена обратно к равновесию.

Период задается массой груза и жесткостью пружины.

Обозначения

$T$
период одного полного колебания, с
$m$
масса груза, кг
$k$
жесткость пружины, Н/м
$\pi$
математическая постоянная пи

Условия применения

  • Колебания малы, а пружина подчиняется закону Гука.
  • Трением и сопротивлением воздуха пренебрегают или считают их малыми.
  • Масса пружины мала по сравнению с массой груза или уже учтена в модели.

Ограничения

  • При больших растяжениях пружина может перестать подчиняться закону Гука, и формула станет неточной.
  • Сильное трение меняет движение и постепенно уменьшает амплитуду; период может отличаться от идеального.
  • Формула не зависит от амплитуды только в модели гармонических малых колебаний.

Подробное объяснение

Пружинный маятник колеблется из-за силы упругости. Когда груз смещен от положения равновесия, пружина тянет его обратно, а инерция заставляет пройти через равновесие и сместиться в другую сторону.

Жесткость k показывает, насколько сильная возвращающая сила возникает при данном смещении. Чем больше k, тем быстрее система возвращается, поэтому период уменьшается. Масса действует наоборот: более массивный груз труднее разогнать и остановить, поэтому период увеличивается.

Квадратный корень в формуле означает, что влияние массы и жесткости не линейное. Увеличение массы в 4 раза увеличивает период только в 2 раза, а увеличение жесткости в 4 раза уменьшает период в 2 раза.

Формула не содержит амплитуды, потому что идеальный пружинный маятник является гармоническим осциллятором. При малых колебаниях период не зависит от того, насколько сильно растянули пружину, если закон Гука остается верным.

В задачах нужно отличать пружинный маятник от нитяного. У них похожее слово «период», но разные физические причины возвращающей силы и разные формулы.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что речь идет о грузе на пружине.
  2. Переведите массу в килограммы, жесткость в Н/м.
  3. Найдите отношение m/k.
  4. Извлеките квадратный корень и умножьте на 2π.
  5. Проверьте, что увеличение массы увеличивает период, а увеличение жесткости уменьшает.

Историческая справка

Колебания упругих систем изучались после формулировки закона Гука в XVII веке. Роберт Гук установил связь между силой упругости и деформацией, что стало основой для математического описания пружин. Развитие ньютоновской механики позволило связать возвращающую силу с ускорением и получить гармонические колебания. В XVIII-XIX веках гармонический осциллятор стал универсальной моделью для маятников, звука, механических систем и позже электрических колебаний. В школьном курсе пружинный маятник показывает, как простая сила F = -kx приводит к периодическому движению и почему корень из отношения массы к жесткости определяет темп колебаний. В XX веке эта модель стала языком для описания малых колебаний почти любых систем около устойчивого равновесия.

Историческая линия формулы

Формула периода пружинного маятника опирается на закон Гука и ньютоновскую динамику. Ее не приписывают одному автору в школьной форме; исторически она выросла из изучения упругости и гармонических колебаний. В более общем курсе та же зависимость выводится из дифференциального уравнения гармонического осциллятора.

Пример

Груз массой 0,4 кг подвешен к пружине жесткостью 100 Н/м. Найдем период колебаний: T = 2π√(m/k) = 2*3,14*√(0,4/100) = 6,28*√0,004. Корень из 0,004 примерно 0,063, значит T ≈ 6,28*0,063 ≈ 0,40 с. Проверка по смыслу: жесткая пружина 100 Н/м быстро возвращает небольшой груз, поэтому период меньше секунды. Если массу увеличить в 4 раза при той же пружине, период увеличится в 2 раза, потому что масса стоит под корнем. Для контроля можно найти частоту: ν = 1/T ≈ 2,5 Гц. Это значит, что система совершает примерно два с половиной полных колебания за секунду, что согласуется с малым периодом.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать период прямо пропорциональным массе, забывая квадратный корень. Вторая ошибка - путать жесткость k с массой: чем больше k, тем меньше период, а не больше. Третья ошибка - подставлять массу в граммах. Еще одна ошибка - применять формулу к математическому маятнику на нити, где период зависит от длины и g, а не от массы груза.

Практика

Задачи с решением

Период груза

Условие. Груз массой 1 кг колеблется на пружине жесткостью 25 Н/м. Найдите период.

Решение. T = 2π√(1/25) = 2π*0,2 ≈ 1,26 с.

Ответ. примерно 1,26 с

Влияние массы

Условие. Массу груза на той же пружине увеличили в 9 раз. Как изменится период?

Решение. T пропорционален √m, поэтому при увеличении массы в 9 раз период увеличится в 3 раза.

Ответ. увеличится в 3 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Simple Harmonic Motion
  • Robert Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, 1678
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по физике 2026, механические колебания и волны

Связанные формулы

Физика

Частота звуковой волны

$\nu=\frac{v}{\lambda}$

Частота звуковой волны равна скорости распространения звука, деленной на длину волны, и показывает число колебаний источника за секунду.