Все формулы РФ

Физика / Механика

Механическая энергия с учетом потенциальной и кинетической

Полная механическая энергия тела в поле тяжести равна сумме кинетической энергии движения и потенциальной энергии положения над выбранным уровнем.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по физике за 9 классМеханикаРабота, энергия и мощностьШкольные формулы по физикеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$E=E_k+E_p=\frac{mv^2}{2}+mgh$$
Энергетическая диаграмма Переход Ep в Ek

Тело показано на высоте и ниже по траектории; столбики энергии демонстрируют уменьшение потенциальной и рост кинетической энергии.

Без потерь сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной.

Обозначения

$E$
полная механическая энергия, Дж
$E_k$
кинетическая энергия тела, Дж
$E_p$
потенциальная энергия в поле тяжести, Дж
$m$
масса тела, кг
$v$
скорость тела, м/с
$h$
высота над выбранным нулевым уровнем, м

Условия применения

  • Потенциальная энергия считается в однородном поле тяжести около поверхности Земли.
  • Нулевой уровень высоты выбран заранее и одинаков для всех расчетов.
  • Если говорят о сохранении E, трением и сопротивлением воздуха пренебрегают.

Ограничения

  • При наличии трения механическая энергия уменьшается, переходя во внутреннюю энергию, поэтому сумма Ek + Ep не сохраняется.
  • Потенциальная энергия mgh подходит для небольших высот около поверхности Земли, где g можно считать постоянным.
  • Выбор нулевого уровня меняет Ep, но не меняет физические выводы о разности энергий.

Подробное объяснение

Механическая энергия описывает способность тела совершать работу за счет движения и положения. Кинетическая энергия связана со скоростью, потенциальная в поле тяжести - с высотой относительно выбранного уровня.

Сумма Ek + Ep удобна тем, что при отсутствии сопротивления и трения она сохраняется. Тело может терять высоту и набирать скорость, но уменьшение mgh превращается в увеличение mv^2/2.

Кинетическая энергия зависит от квадрата скорости. Поэтому увеличение скорости в два раза увеличивает Ek в четыре раза. Потенциальная энергия около поверхности Земли пропорциональна высоте: подняли тело в два раза выше - запас энергии относительно того же уровня вырос в два раза.

Выбор нулевого уровня важен для численного значения Ep. Можно считать h от пола, стола или земли, но во всей задаче нужно использовать один и тот же уровень. Обычно физический смысл имеет изменение потенциальной энергии.

В задачах ОГЭ формулу часто используют как часть закона сохранения энергии. Если потерь нет, записывают E1 = E2 и выражают скорость, высоту или работу силы тяжести.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите нулевой уровень для высоты.
  2. Переведите массу, скорость и высоту в единицы СИ.
  3. Найдите кинетическую энергию mv^2/2.
  4. Найдите потенциальную энергию mgh.
  5. Сложите энергии и проверьте, можно ли считать сумму сохраняющейся.

Историческая справка

Понятие энергии формировалось постепенно. В XVII-XVIII веках обсуждали живую силу, работу и сохранение движения; Лейбниц использовал величину, связанную с mv^2. В XIX веке закон сохранения энергии получил современный смысл благодаря работам Джоуля, Майера, Гельмгольца и других исследователей. Разделение механической энергии на кинетическую и потенциальную стало удобным языком механики, позволяющим решать задачи без подробного анализа сил на каждом участке. В школьном курсе формула E = mv^2/2 + mgh соединяет две важные идеи: движение имеет энергетическую меру, а положение в поле тяжести задает запас энергии, который может перейти в движение. Поэтому энергетический метод стал одним из самых экономных способов описывать механическое движение.

Историческая линия формулы

Формула полной механической энергии в школьном виде является результатом развития классической механики и закона сохранения энергии. Она связана с работами Лейбница, Джоуля, Гельмгольца и других ученых, а не с единственным автором.

Пример

Мяч массой 0,2 кг находится на высоте 5 м и движется со скоростью 4 м/с. Возьмем g = 10 м/с². Кинетическая энергия: Ek = mv^2/2 = 0,2*4^2/2 = 1,6 Дж. Потенциальная энергия: Ep = mgh = 0,2*10*5 = 10 Дж. Полная механическая энергия E = 1,6 + 10 = 11,6 Дж. Проверка: обе части измеряются в джоулях и могут складываться. Если сопротивлением воздуха пренебречь, при падении потенциальная энергия будет уменьшаться, кинетическая возрастать, а сумма останется около 11,6 Дж до удара о землю. Если выбрать другой нулевой уровень, значение Ep изменится, но изменение энергии при падении и найденная скорость останутся теми же.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать квадрат скорости в кинетической энергии. Вторая ошибка - складывать высоту и скорость напрямую вместо энергий. Третья ошибка - считать потенциальную энергию абсолютной: она зависит от выбранного нулевого уровня. Еще одна ошибка - применять сохранение механической энергии при сильном трении без учета потерь, хотя сама формула суммы E = Ek + Ep остается определением механической энергии.

Практика

Задачи с решением

Полная энергия

Условие. Тело массой 1 кг движется со скоростью 6 м/с на высоте 2 м. g = 10 м/с². Найдите E.

Решение. Ek = 1*36/2 = 18 Дж, Ep = 1*10*2 = 20 Дж, E = 38 Дж.

Ответ. 38 Дж

Скорость у земли

Условие. Тело падает без сопротивления с высоты 5 м из состояния покоя. g = 10 м/с². Найдите скорость у земли.

Решение. mgh = mv^2/2, масса сокращается. v^2 = 2gh = 100, v = 10 м/с.

Ответ. 10 м/с

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Conservation of Energy
  • Hermann von Helmholtz, On the Conservation of Force, 1847
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по физике 2026, работа и энергия

Связанные формулы

Физика

Работа силы тяжести

$A=m g (h_1-h_2)$

Работа силы тяжести равна произведению массы, ускорения свободного падения и уменьшения высоты тела относительно выбранного уровня.

Физика

Импульс тела в задачах 9 класса

$\vec p=m\vec v$

Импульс тела равен произведению массы на скорость и является векторной величиной, которая характеризует количество механического движения тела.

Физика

Закон сохранения импульса для двух тел

$m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2$

Закон сохранения импульса утверждает, что в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов после него.