Все формулы РФ

Физика / Электричество

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.

Опубликовано: Обновлено:

ЭлектричествоСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаИнженерные измерения

Формула

$$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$$
Схема Z₀ при C′=100 пФ/м
Z₀ при C′=100 пФ/мZ₀ при C′=100 пФ/мZ₀1002520037.53005040062.550075L′, нГн/мZ₀, Ом

При фиксированной ёмкости сопротивление растёт как квадратный корень из L′.

Обозначения

$Z_0$
волновое сопротивление линии без потерь, Ом
$L'$
индуктивность единицы длины, Гн/м
$C'$
ёмкость единицы длины, Ф/м

Условия применения

Линия однородна вдоль направления распространения, её проводники и диэлектрик считаются идеальными. Параметры L′ и C′ положительны и относятся к одному участку с одинаковой системой единиц. Отношение V⁺/I⁺ берут для одной волны, распространяющейся к нагрузке.

Ограничения

При существенных омических и диэлектрических потерях волновое сопротивление становится комплексным и зависит от частоты: нужно учитывать R′ и G′. При наличии отражений отношение полного напряжения к полному току в произвольной точке обычно не равно Z₀ и называется входным импедансом.

Подробное объяснение

Короткий участок кабеля обладает последовательной индуктивностью L′Δz и поперечной ёмкостью C′Δz. При стремлении длины участка к нулю законы Кирхгофа превращаются в уравнения распределённой линии. Для волны, идущей в одном направлении, напряжение и ток имеют одну форму, но разные масштабы; подстановка в эти уравнения даёт их отношение √(L′/C′).

Слово «сопротивление» не означает необратимое выделение тепла. Даже при идеальных проводниках и отсутствии потерь энергия передаётся вдоль линии, а локальные электрическое и магнитное поля требуют определённого отношения V⁺ к I⁺. Бесконечная линия или конечная согласованная линия со стороны источника выглядит как нагрузка Z₀, пока дополнительная отражённая волна не меняет картину.

Удвоение L′ при неизменном C′ увеличивает Z₀ в √2 раза. Удвоение обоих параметров оставляет их отношение и Z₀ прежними, хотя скорость волны уменьшается вдвое. Поэтому нельзя по одному только номиналу 50 Ом восстановить задержку кабеля: волновое сопротивление зависит от отношения параметров, скорость — от их произведения.

Проверка единиц даёт √((Гн/м)/(Ф/м))=√(Гн/Ф)=Ом. Если вместо погонных величин известны полные L и C одного и того же однородного отрезка, длина сократится в отношении. Но брать полную индуктивность одного кабеля и ёмкость другого нельзя: одинаковые единицы не обеспечивают физического соответствия параметров.

Как пользоваться формулой

  1. Уточните, относятся ли L′ и C′ к одному однородному кабелю и к одной рабочей частоте модели.
  2. Переведите погонную индуктивность в Гн/м, а погонную ёмкость в Ф/м, сохранив приставки отдельно.
  3. Разделите L′ на C′ и извлеките положительный квадратный корень, так как параметры идеальной линии положительны.
  4. Проверьте единицу результата: корень из отношения Гн/Ф должен выражаться в омах, а не в Ом/м.
  5. Для согласования сравните найденное Z₀ с импедансом нагрузки; не подменяйте его сопротивлением жилы постоянному току.

Историческая справка

Теория распределённых линий развивалась в XIX веке вместе с дальней телеграфной связью: провод перестал рассматриваться как соединение с одинаковым током во всех точках. Оливер Хевисайд работал в телеграфной компании и исследовал распространение электромагнитных возмущений; его вклад относится к общей теории линий, а не к отдельному номиналу кабеля.

Современное определение волнового сопротивления связано с разделением решения на встречные бегущие волны. В учебнике Германа Хауса и Джеймса Мелчера Electromagnetic Fields and Energy, изданном в 1989 году и размещённом MIT, погонная модель вводится в разделе 14.1, а отношение напряжения и тока волны — при анализе установившегося режима. Эта последовательность объясняет, почему √(L′/C′) нельзя отождествлять с сопротивлением провода по закону Ома для постоянного тока.

Историческая линия формулы

У формулы нет отдельного общепринятого единственного автора: это следствие уравнений идеальной распределённой линии. Хевисайд связан с развитием общей теории распространения сигналов; Хаус и Мелчер используются здесь как точный учебный источник современной записи.

Пример

Для учебной модели кабеля заданы L′=250 нГн/м и C′=100 пФ/м. Нужно определить волновое сопротивление, а затем ток падающей волны с амплитудой напряжения 2 В. Переводим параметры: L′=250·10⁻⁹ Гн/м, C′=100·10⁻¹² Ф/м. Отношение равно 2500 Гн/Ф, поэтому Z₀=√2500=50 Ом. Тогда I⁺=V⁺/Z₀=2/50=0,04 А, или 40 мА. Обратная проверка: Z₀I⁺=50·0,04=2 В. Это ток отдельной падающей волны; если конец кабеля не согласован, полный ток в точке дополнительно содержит отражённую составляющую и может отличаться от 40 мА.

Частая ошибка

Не принимайте 50 Ом за активное сопротивление кабеля на метр: линия может иметь малое сопротивление жилы и то же Z₀. Не смешивайте нГн с пФ без перевода приставок — ошибка под корнем меняет масштаб в десятки раз. Не вычисляйте Z₀ по полным напряжению и току стоячей волны. Не переносите формулу без потерь на сильно затухающую линию без проверки R′ и G′.

Практика

Задачи с решением

Другой кабель

Условие. Найдите Z₀ при L′=400 нГн/м и C′=100 пФ/м.

Решение. Z₀=√((400·10⁻⁹)/(100·10⁻¹²))=√4000≈63,2456 Ом.

Ответ. Приближённо 63,25 Ом.

Одновременное изменение параметров

Условие. У кабеля 50 Ом обе погонные величины L′ и C′ увеличили вдвое. Найдите новое Z₀.

Решение. Отношение (2L′)/(2C′)=L′/C′ сохраняется, поэтому положительный корень остаётся равным 50 Ом.

Ответ. 50 Ом.

Дополнительные источники

  • https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.1.html
  • https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.5.html
  • https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heaviside/
  • https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′

$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad t_d=\ell\sqrt{L'C'}$

Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.

Физика

Коэффициент отражения напряжения от нагрузки линии

$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$

Коэффициент отражения нагрузки — комплексное отношение амплитуды отражённой волны напряжения к падающей. Он показывает и величину возвращающейся волны, и изменение её фазы при несовпадении нагрузки с волновым сопротивлением линии.

Физика

КСВ напряжения через модуль коэффициента отражения

$\mathrm{КСВ}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$

Коэффициент стоячей волны по напряжению равен отношению наибольшей амплитуды напряжения к наименьшей вдоль идеальной линии. Он определяется модулем отражения и показывает выраженность интерференции падающей и отражённой волн.