Все формулы РФ

Физика / Электричество

Коэффициент отражения напряжения от нагрузки линии

Коэффициент отражения нагрузки — комплексное отношение амплитуды отражённой волны напряжения к падающей. Он показывает и величину возвращающейся волны, и изменение её фазы при несовпадении нагрузки с волновым сопротивлением линии.

Опубликовано: Обновлено:

ЭлектричествоСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаИнженерные измерения

Формула

$$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$
Схема Отражение в линии 50 Ом
Отражение в линии 50 ОмОтражение в линии 50 ОмΓ_L0-150-0.510001500.52001R_L, ОмΓ_L

Резистор 50 Ом даёт нулевое отражение; меньшее сопротивление меняет знак Γ.

Обозначения

$Γ_L$
коэффициент отражения напряжения в плоскости нагрузки, безразмерный
$Z_L$
комплексный импеданс нагрузки, Ом
$Z_0$
действительное волновое сопротивление линии без потерь, Ом
$V⁺,V⁻$
комплексные амплитуды падающего и отражённого напряжений, В

Условия применения

Коэффициент определяют в плоскости нагрузки для линейного установившегося гармонического режима. В обычной формуле отношения мощностей Z₀ должно быть действительным и положительным. Направление положительного тока выбирают к нагрузке, поэтому ток отражённой волны входит со знаком минус.

Ограничения

При комплексном опорном сопротивлении связь между |Γ|² и отражённой мощностью требует уточнения определения волн. Для активной нагрузки возможен |Γ|>1, что не описывает пассивное согласование. Один модуль коэффициента не позволяет однозначно восстановить комплексный Z_L: нужна также фаза.

Подробное объяснение

В точке нагрузки суммарное напряжение равно V⁺+V⁻. Для тока используется другое сложение: I=(V⁺−V⁻)/Z₀, поскольку отражённая волна несёт энергию в противоположную сторону. Подстановка в условие Z_L=V/I и деление на V⁺ дают Z_L=Z₀(1+Γ_L)/(1−Γ_L). Решение этого равенства относительно Γ_L приводит к указанной дроби.

Если Z_L=Z₀, числитель обращается в ноль и отражение отсутствует. Для короткого замыкания Z_L=0 получается Γ_L=−1: напряжения волн на конце взаимно уничтожаются. При разомкнутом конце предел Z_L→∞ даёт Γ_L→1: напряжения складываются, а токи компенсируются. Эти проверки помогают обнаружить неверный знак в формуле.

При действительном Z₀ средняя мощность отдельной волны пропорциональна квадрату модуля её напряжения. Поэтому отношение отражённой мощности к падающей равно |Γ_L|², а не |Γ_L|. Отрицательный действительный Γ означает фазовый сдвиг на π, но отражённая мощность остаётся неотрицательной.

В линии без потерь перенос плоскости наблюдения меняет фазу Γ, но сохраняет его модуль. При наличии затухания измеренное отражение на входе меньше отражения у самой нагрузки из-за двойного прохождения линии. Поэтому место отсчёта должно быть указано вместе с коэффициентом, особенно при сравнении расчёта с показаниями измерительного прибора.

Как пользоваться формулой

  1. Укажите рабочую частоту и плоскость нагрузки, затем запишите её комплексный импеданс Z_L и опорное Z₀.
  2. Вычислите отдельно разность Z_L−Z₀ и сумму Z_L+Z₀, сохраняя действительную и мнимую части.
  3. Разделите комплексные числа; для резистивной нагрузки дробь будет действительной, но может иметь отрицательный знак.
  4. Умножьте Γ_L на амплитуду падающего напряжения, если требуется комплексная амплитуда отражённой волны.
  5. Для действительного Z₀ найдите |Γ_L|² и проверьте, что пассивная нагрузка не отражает больше подведённой мощности.

Историческая справка

Отражение электрического сигнала стало естественной частью теории длинных линий: на конце должны одновременно выполняться условия для напряжения и тока. Традиция распределённого описания развивалась с линиями связи XIX века, но современный комплексный коэффициент удобнее рассматривать как алгебраическую форму граничного условия, а не как отдельный эмпирический закон.

В книге Хауса и Мелчера Electromagnetic Fields and Energy 1989 года анализ импеданса линии в разделе 14.5 продолжается специальным разделом 14.6 о представлении через коэффициент отражения. Авторы показывают, что при переносе точки вдоль идеальной линии коэффициент поворачивается на комплексной плоскости с неизменным модулем. Именно разделение модуля и фазы сделало такое представление удобным для микроволновых измерений и графического анализа согласования.

Историческая линия формулы

Указанное выражение получается из граничных условий для двух встречных волн и не требует приписывания одному автору. Историческая теория линий и современная комплексная запись относятся к разным этапам развития; точный источник принятого здесь соглашения — разделы 14.5–14.6 учебника MIT.

Пример

К линии Z₀=50 Ом подключён резистор R_L=100 Ом. Найдём коэффициент отражения и мощность, возвращающуюся при падающей мощности 9 Вт. Γ_L=(100−50)/(100+50)=50/150=1/3. Коэффициент положителен: отражённое напряжение в плоскости нагрузки имеет ту же фазу, что и падающее. Отношение мощностей равно |Γ_L|²=1/9, поэтому P_отр=9/9=1 Вт. Оставшиеся 8 Вт поглощаются нагрузкой в идеальной модели. Обратная проверка: Z_L=50·(1+1/3)/(1−1/3)=100 Ом. Если бы модуль Γ ошибочно приняли за долю мощности, получились бы 3 Вт вместо 1 Вт.

Частая ошибка

Не считайте коэффициент напряжения долей мощности: нужно возведение модуля в квадрат. Не складывайте токи встречных волн с одинаковым знаком при одном направлении отсчёта. Не теряйте фазу отрицательного Γ. Не используйте результат измерения на входе длинного затухающего кабеля как коэффициент самой нагрузки без переноса плоскости отсчёта.

Практика

Задачи с решением

Нагрузка меньше Z₀

Условие. Найдите Γ_L и долю отражённой мощности для R_L=25 Ом и Z₀=50 Ом.

Решение. Γ_L=(25−50)/(25+50)=−1/3. Модуль в квадрате равен 1/9, или 11,111…%.

Ответ. Γ_L=−1/3; отражается около 11,11% мощности.

Обратная задача

Условие. Действительный Γ_L=0,2, Z₀=50 Ом. Восстановите резистивную нагрузку.

Решение. R_L=Z₀(1+Γ_L)/(1−Γ_L)=50·1,2/0,8=75 Ом.

Ответ. 75 Ом.

Дополнительные источники

  • https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.5.html
  • https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.6.html
  • https://farside.ph.utexas.edu/teaching/315/Waves/node45.html
  • https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

КСВ напряжения через модуль коэффициента отражения

$\mathrm{КСВ}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$

Коэффициент стоячей волны по напряжению равен отношению наибольшей амплитуды напряжения к наименьшей вдоль идеальной линии. Он определяется модулем отражения и показывает выраженность интерференции падающей и отражённой волн.

Физика

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.

Физика

Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′

$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad t_d=\ell\sqrt{L'C'}$

Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.