Физика / Электричество
Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′
Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.
Формула
Показана односторонняя задержка. Для отражения полный путь удваивается.
Обозначения
- $v$
- скорость волны в идеальной недиспергирующей линии, м/с
- $t_d$
- односторонняя задержка прохождения, с
- $ℓ$
- физическая длина участка, м
- $L',C'$
- погонные индуктивность и ёмкость, Гн/м и Ф/м
Условия применения
Используется однородная распределённая линия с пренебрежимо малыми R′ и G′. В рассматриваемом диапазоне L′ и C′ считаются постоянными, поэтому фазовая и групповая скорости совпадают. Длина ℓ измеряется вдоль линии, а задержка относится к прохождению в одну сторону.
Ограничения
В диспергирующей линии фазовая скорость гармоники не равна групповой скорости огибающей или скорости фронта. При временной рефлектометрии измеренная задержка отражения включает путь до дефекта и обратно: расстояние равно vt/2. Формула не учитывает геометрические неоднородности и частотную зависимость диэлектрика.
Подробное объяснение
Если продифференцировать первое уравнение идеальной линии по координате и подставить второе, получается волновое уравнение ∂²V/∂z²=L′C′∂²V/∂t². Его сравнивают со стандартной формой ∂²V/∂z²=(1/v²)∂²V/∂t². Отсюда коэффициент перед временной производной определяет скорость: v=1/√(L′C′).
Произведение L′C′ имеет размерность с²/м². Поэтому его квадратный корень является задержкой единицы длины, а умножение на ℓ сразу даёт секунды. Это полезнее, чем каждый раз вычислять большую скорость: для кабеля часто удобнее записывать 5 нс/м и умножать это число на длину соединения.
Одновременное увеличение L′ и C′ вдвое увеличивает их произведение вчетверо, а задержку единицы длины — вдвое. При этом Z₀=√(L′/C′) сохраняется. Два кабеля с одинаковыми 50 Ом могут иметь разные коэффициенты укорочения и разные длины четвертьволновых секций на одной частоте.
Для одной гармоники электрическая длина равна βℓ=2πfℓ/v. Для короткого импульса идеальная модель означает перенос формы без искажения: значение на выходе повторяет входное с задержкой. В реальном тракте фронты дополнительно меняются из-за потерь, дисперсии и отражений, поэтому расчёт ℓ/v является исходной оценкой, а не полным описанием осциллограммы.
Как пользоваться формулой
- Запишите длину участка ℓ и параметры L′, C′ на метр; отделите односторонний путь от пути отражённого сигнала.
- Переведите погонные параметры в Гн/м и Ф/м, после чего вычислите их произведение L′C′.
- Извлеките квадратный корень: результат выражается в с/м и показывает задержку каждого метра линии.
- Умножьте задержку на метр на физическую длину участка; обратная величина √(L′C′) даёт скорость v.
- Сравните задержку с периодом или длительностью фронта сигнала, чтобы оценить необходимость распределённой модели.
Историческая справка
Проблема конечного времени передачи сигнала стала существенной при анализе длинных линий связи в XIX веке. Уравнения цепей с сосредоточенными элементами не описывали различие сигналов в начале и конце длинного проводника. Работа с распределёнными индуктивностью и ёмкостью связала электрические измерения с волновым уравнением и позволила отдельно обсуждать скорость, задержку и затухание.
В главе 14 учебника Хауса и Мелчера 1989 года переходные процессы на бесконечной линии рассматриваются раньше гармонического режима. Такой порядок сохраняет физический смысл задержки: решение представляет волну, движущуюся без изменения формы, а уже затем вводятся фаза и длина волны. Современные применения, перечисленные авторами, включают импульсные линии и рефлектометрию. Скорость 1/√(L′C′) здесь является следствием модели, а не эмпирической скоростью любого кабеля.
Историческая линия формулы
Формула выводится сравнением уравнения распределённой линии с волновым уравнением. Она относится к общей теории линий связи и не имеет отдельной безопасной атрибуции одному исследователю; учебник MIT используется как источник вывода и различия переходного и гармонического режимов.
Пример
Пусть L′=250 нГн/м, C′=100 пФ/м, а длина кабеля равна 12 м. Произведение параметров составляет 250·10⁻⁹·100·10⁻¹²=2,5·10⁻¹⁷ с²/м². Его корень равен 5·10⁻⁹ с/м, то есть 5 нс на метр. Скорость v=1/(5·10⁻⁹)=2·10⁸ м/с, а задержка t_d=12·5 нс=60 нс. Обратная проверка: vt_d=2·10⁸·60·10⁻⁹=12 м. При отражении от конца тот же импульс вернётся к началу через 120 нс, если пренебречь временем переключения и дополнительными задержками прибора. Указанные 60 нс относятся к переносу в одну сторону и не являются длительностью самого импульса.
Частая ошибка
Не используйте скорость света в вакууме автоматически: заполнение кабеля меняет L′C′. Не делите длину на задержку отражения без множителя два. Не путайте нс/м с м/нс — это взаимно обратные величины. Не считайте одинаковый номинал Z₀ доказательством одинаковой скорости. Для диспергирующей линии уточняйте, о фазе или огибающей идёт речь.
Практика
Задачи с решением
Длина по отражению
Условие. Отражённый импульс вернулся через 80 нс. Скорость в кабеле 2·10⁸ м/с. Найдите расстояние до конца.
Решение. Полный путь равен vt=16 м, но он состоит из двух одинаковых участков. ℓ=vt/2=8 м.
Ответ. 8 м.
Период и задержка
Условие. При задержке 5 нс/м и длине 2 м найдите фазовый набег на частоте 10 МГц.
Решение. t_d=10 нс. Фазовый набег равен 2πft_d=2π·10⁷·10⁻⁸=0,2π рад.
Ответ. 0,2π рад, или 36°.
Дополнительные источники
- https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.1.html
- https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.3.html
- https://farside.ph.utexas.edu/teaching/315/Waves/node44.html
- https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/
Связанные формулы
Физика
Волновое сопротивление линии через погонные L и C
Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.
Физика
Волновое число
Волновое число равно 2π, деленному на длину волны. Оно измеряется в радианах на метр и удобно в фазовой записи плоской гармонической волны.
Физика
Коэффициент отражения напряжения от нагрузки линии
Коэффициент отражения нагрузки — комплексное отношение амплитуды отражённой волны напряжения к падающей. Он показывает и величину возвращающейся волны, и изменение её фазы при несовпадении нагрузки с волновым сопротивлением линии.
Физика
КСВ напряжения через модуль коэффициента отражения
Коэффициент стоячей волны по напряжению равен отношению наибольшей амплитуды напряжения к наименьшей вдоль идеальной линии. Он определяется модулем отражения и показывает выраженность интерференции падающей и отражённой волн.