Все формулы РФ

Физика / Электричество

Фазовый сдвиг RL-фильтра низких частот

В последовательной RL-цепи с выходом на резисторе фаза равна минус арктангенсу отношения частоты к частоте среза. Выходное напряжение отстаёт от входного, а на срезе составляет по фазе −45° и по амплитуде 0,707 от входа.

Опубликовано: Обновлено:

ЭлектричествоСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаИнженерные измеренияКолебания и волны

Формула

$$\varphi(f)=-\arctan\!\left(\frac{2\pi fL}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac{R}{2\pi L}$$
Схема Фаза RL-фильтра с выходом на резисторе
Фаза RL-фильтра низких частотВыход снят на R. При нормированной частоте от 0,1 до 10 фаза уменьшается от −5,7 до −84,3 градуса; при f равно fc равна −45 градусам.Фаза φ, градусы0°−45°−90°0,1110Относительная частота f/fcfc: −45°Выход на R; катушка идеальная

Для RL-цепи с выходом на R нормированная фазовая характеристика повторяет однополюсный НЧ-фильтр: −45° при f=fc и стремление к −90° выше среза.

Обозначения

$φ(f)$
фаза напряжения на резисторе относительно входного напряжения; отрицательный знак означает отставание, рад или °
$f$
частота входной синусоиды, Гц
$R$
сопротивление резистора, на котором измеряется выход, Ом
$L$
индуктивность последовательной катушки, Гн
$fc$
частота среза, где |Uвых/Uвх|=1/√2, Гц
$τ=L/R$
постоянная времени идеальной RL-цепи, с

Условия применения

Рассматривается идеальная катушка последовательно с резистором R, подключённые к идеальному источнику; выход измеряется непосредственно на R, без дополнительной нагрузки. В установившемся режиме при синусоидальном входе индуктивное сопротивление jωL и R образуют делитель. Сопротивление источника мало по сравнению с R, а собственное сопротивление обмотки и паразитная ёмкость катушки несущественны в рассматриваемом диапазоне частот.

Ограничения

Если выход снять с катушки, получится фильтр верхних частот с другой фазой, поэтому положение щупов принципиально. У реального дросселя обмотка имеет активное сопротивление, а сердечник может менять L с током и частотой; собственная ёмкость ограничивает применимость модели на высоких частотах. Дополнительная нагрузка или ненулевое сопротивление источника меняют делитель. Фаза не является постоянной временной задержкой: перевод |φ|/(2πf) описывает только синусоиду данной частоты.

Подробное объяснение

В RL-фильтре низких частот катушка и резистор соединены последовательно, а выход снимается с резистора. При низкой частоте индуктивное сопротивление мало, большая часть входного напряжения приходится на R, поэтому сигнал проходит почти без изменения. По мере роста частоты катушка препятствует переменному току сильнее, и напряжение на R уменьшается.

Импедансы элементов равны R и jωL. Делитель напряжения даёт H(jω)=R/(R+jωL)=1/(1+jωL/R). Числитель положительный вещественный, поэтому фаза H равна минус аргументу знаменателя: φ=−arctan(ωL/R). Частота среза задаёт ωc=R/L, или fc=R/(2πL), так что формулу можно записать через f/fc.

Когда f≪fc, фаза близка к 0° и выход почти синфазен с входом. При f=fc угол равен −45°, а амплитуда уменьшается до 1/√2≈0,707. При f≫fc фаза стремится к −90°, но одновременно напряжение на резисторе становится малым: |H|=1/√(1+(f/fc)²).

Постоянная времени τ=L/R даёт ещё одну проверку: fc=1/(2πτ). Увеличение L при неизменном R сдвигает срез вниз и увеличивает фазовое отставание на фиксированной частоте. Увеличение R, напротив, поднимает срез и уменьшает x=2πfL/R.

Временной сдвиг Δt=|φ|/(2πf) можно назвать задержкой только для выбранной синусоиды. На частоте среза угол 45° соответствует T/8, но число секунд зависит от частоты. Для сигнала с широким спектром разные гармоники получат разные углы и амплитуды.

Если измерить выход на катушке, передаточная функция станет jωL/(R+jωL): цепь будет высокочастотной, фаза положительной, а частота среза останется R/(2πL). Совпадение частоты среза не делает эти формулы взаимозаменяемыми: нужно учитывать, какой элемент выбран выходом и что именно измеряется.

Как пользоваться формулой

  1. Проследите путь сигнала: катушка включена последовательно с R, а выходные щупы стоят параллельно R; это определяет тип фильтра и знак фазы.
  2. Переведите L в генри, R в омы, частоту f в герцы и проверьте, что источник и выходная нагрузка не меняют делитель заметно.
  3. Вычислите fc=R/(2πL) или τ=L/R и проверьте равенство fc=1/(2πτ), чтобы не перепутать герцы и радианы в секунду.
  4. Найдите x=f/fc=2πfL/R и вычислите φ=−arctan(x), сохранив отрицательный знак для отстающего выхода.
  5. Для амплитуды используйте |H|=1/√(1+x²); умножьте результат на входную амплитуду в тех же пиковых или RMS-единицах.
  6. Если нужен временной сдвиг, вычислите |φ|/(2πf) для той же синусоиды; не переносите это время на сигнал другого спектра.

Историческая справка

Катушки индуктивности оказались важны в ранней телефонной связи не только как отдельные элементы цепей. В конце XIX века Оливер Хевисайд исследовал распространение сигналов по телеграфным линиям, описывая распределённые сопротивление, индуктивность и ёмкость. В 1887 году он предложил размещать загрузочные катушки вдоль телефонных линий, чтобы уменьшить искажение передаваемых сигналов; позднее эту идею развивали Майкл Пьюпин и инженеры телефонных компаний.

Это инженерное решение относится к распределённым параметрам длинной линии, а не к однозвенной цепи R-L, где один идеальный дроссель соединён с резистором. Однако исторический мотив тот же: индуктивность меняет амплитуду и фазу переменного сигнала, поэтому её нельзя описывать только сопротивлением постоянному току.

Современная формула здесь получается из комплексного импеданса катушки jωL и делителя напряжения. Она не имеет отдельного общепринятого авторского имени: при заданных точке съёма и идеальных компонентах это непосредственное следствие законов цепи. Исторически важно различать применение загружающих катушек для выравнивания характеристик линий связи и учебный RL-фильтр, который демонстрирует частотный отклик одного сосредоточенного звена.

Историческая линия формулы

Формула φ=−arctan(2πfL/R) является стандартным следствием делителя напряжения с импедансами R и jωL, а не отдельным результатом одного автора. Хевисайд связан с теорией линий связи и идеей загрузки катушками; его распределённая модель не тождественна этой сосредоточенной RL-цепи.

Пример

Идеальная катушка L=10 мГн включена последовательно с R=1,00 кОм. Выход снимается на резисторе, дополнительной нагрузки нет. Для частоты f=4,00 кГц найдём фазу, амплитудный коэффициент и выход при входной амплитуде 5,00 В. В генри L=0,0100 Гн. Постоянная времени τ=L/R=0,0100/1000=10,0 мкс, поэтому fc=1/(2πτ)≈15,915 кГц. Нормированная частота x=f/fc≈0,251327. Фаза φ=−arctan(x)≈−14,11°: напряжение на резисторе немного отстаёт. Модуль передачи равен 1/√(1+x²)≈0,96984. Амплитуда выхода Uвых≈5,00·0,96984=4,849 В. Фазовое отставание этой синусоиды во времени составляет 14,11°/(360°·4000 Гц)≈9,80 мкс. Проверка размерности: 2πfL/R безразмерно, а L/R измеряется в секундах. При f=fc должны получиться −45° и коэффициент 0,707; эти значения проверяются непосредственно из формул.

Частая ошибка

Не используйте фазу напряжения катушки, если выход измеряется на резисторе: у катушечного выхода цепь становится высокочастотной и фаза меняет знак. Не подставляйте ω=2πf и одновременно ещё раз умножать результат на 2π. Не задавайте L в миллигенри без перевода в генри. Не трактуйте fc как резкий обрыв: на ней амплитуда равна 70,7%, а не нулю. Не считайте фазовое отставание постоянной задержкой сигнала с несколькими частотами.

Практика

Задачи с решением

На частоте среза

Условие. L=10 мГн, R=1,00 кОм, выход снимается на R. Найдите fc, фазу и амплитуду выхода при входной амплитуде 3,00 В и f=fc.

Решение. fc=R/(2πL)=1000/(2π·0,010)≈15,915 кГц. При f=fc имеем x=1, φ=−arctan(1)=−45°. |H|=1/√2≈0,7071, поэтому Uвых≈3,00·0,7071=2,12 В.

Ответ. fc≈15,915 кГц; φ=−45°; Uвых≈2,12 В.

Сигнал выше среза

Условие. В последовательной RL-цепи R=150 Ом, L=47 мГн; выход снят на R. При f=1,00 кГц и амплитуде входа 5,00 В найдите фазу и выходную амплитуду.

Решение. x=2πfL/R≈1,968731. Поэтому φ=−arctan(x)≈−63,07°. Модуль передачи 1/√(1+x²)≈0,452869; Uвых≈5,00·0,452869=2,264 В.

Ответ. Фаза ≈−63,07°; амплитуда выхода ≈2,264 В.

Калькулятор

Фаза и амплитуда RL-цепи

Введите R в омах, L в мГн, частоту в кГц и амплитуду входа в вольтах. Выход снимается на R; нагрузка и сопротивление обмотки не учитываются.

Заполнить примером:
Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Пресет должен дать фазу около −14,108° и выходную амплитуду около 4,849 В.

Дополнительные источники

  • https://usafa-ece.github.io/ece315-book/block2/L23/ECE315_B2_L20_AnalogFilters_Reading_23Sp.html
  • https://ctools.ece.utah.edu/Filters/RCRLFilters/FilterRCRLGallery.pdf
  • https://faculty.kfupm.edu.sa/EE/malek/EE205/pdfslides-205/Lecture%2029_ee205.pdf
  • https://www.aps.org/apsnews/2010/02/1925-death-of-oliver-heaviside
  • https://patents.google.com/patent/US1227113A/en

Связанные формулы

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра верхних частот

$\varphi(f)=\arctan\!\left(\frac1{2\pi fRC}\right)=\arctan\!\left(\frac{f_c}{f}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг последовательной RC-цепи с выходом на резисторе равен арктангенсу отношения частоты среза к частоте сигнала. На любой положительной частоте выход опережает вход; при частоте среза угол равен +45°.

Физика

Закон Ома для переменного тока

$I=\frac{U}{Z}$

Закон Ома для переменного тока: формула I=\frac{U}{Z} помогает связать ток, напряжение, сопротивление или проводимость. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Входной импеданс линии без потерь при известной длине

$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta\ell)},\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$

Входной импеданс показывает, какую нагрузку видит источник через отрезок линии. Даже кабель без потерь преобразует импеданс: результат зависит от волнового сопротивления, окончания и электрической длины βℓ.