Физика / Электричество

Входной импеданс линии без потерь при известной длине

Входной импеданс показывает, какую нагрузку видит источник через отрезок линии. Даже кабель без потерь преобразует импеданс: результат зависит от волнового сопротивления, окончания и электрической длины βℓ.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Формула

Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta\ell)},\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}

Схема Вход: Z₀=50 Ом, R_L=100 Ом

Синяя кривая — активная часть, коричневая — реактивная. При λ/8 получается 40−j30 Ом.

Обозначения

$Z_in$: импеданс на входе участка при отсчёте тока к нагрузке, Ом
$Z_L$: импеданс окончания линии, Ом
$Z_0$: волновое сопротивление идеальной линии, Ом
$βℓ$: электрическая длина участка, рад
$j$: мнимая единица, j²=−1, безразмерная

Условия применения

Линия однородна, потери пренебрежимо малы, режим установившийся синусоидальный; используется временное соглашение exp(jωt). Длина волны λ относится к самой линии, а не автоматически к вакууму. В дроби должны использоваться комплексные импедансы на одной частоте.

Ограничения

Вблизи полюсов тангенса лучше применять эквивалентную запись через синус и косинус или вычислять предел аналитически. Для затухающей линии требуется гиперболическая формула с комплексной постоянной распространения. Указанное преобразование не описывает ещё не установившийся переходный процесс после включения источника.

Подробное объяснение

Полное напряжение и ток в линии образованы падающей и отражённой волнами. Между входом и нагрузкой каждая волна получает свой фазовый набег. Из отношения V/I после исключения амплитуд получается дробно-линейное преобразование Z_L. Поэтому простое прибавление сопротивления кабеля не воспроизводит поведение длинной линии даже при нулевых потерях.

При ℓ=0 тангенс равен нулю, и формула возвращает Z_in=Z_L. То же происходит при электрической длине mπ: отрезок в полволны повторяет нагрузку. При длине λ/4 тангенс формально бесконечен, но предел дроби конечен и равен Z₀²/Z_L. Эту четвертьволновую инверсию используют для согласования действительных сопротивлений.

Если нагрузка уже согласована, Z_L=Z₀, одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются при любой длине. Если же нагрузка резистивная, но не равна Z₀, вход на промежуточной длине обычно получает реактивную составляющую. Отсутствие потерь не означает отсутствие мнимой части: энергия может периодически запасаться в полях линии.

Полезная эквивалентная запись: Z_in=Z₀(Z_L cos θ+jZ₀ sin θ)/(Z₀ cos θ+jZ_L sin θ), θ=βℓ. Она устраняет отдельный полюс tan θ и удобна при проверке четвертьволнового предела. Но если весь знаменатель обращается в ноль, вход действительно стремится к разомкнутой цепи в рамках идеальной модели.

Как пользоваться формулой

Запишите Z_L, Z₀ и длину ℓ, затем найдите длину волны в диэлектрике линии по λ=v/f.
Вычислите θ=2πℓ/λ в радианах и проверьте, не попал ли угол на кратное четверти или половины волны.
Для обычного угла найдите tan θ и сформируйте комплексные числитель и знаменатель без преждевременного округления.
Разделите комплексные числа с помощью сопряжённого знаменателя, отделив действительную и мнимую части Z_in.
Проверьте частные случаи: нулевая длина, согласованная нагрузка и повторение импеданса через полволны.

Историческая справка

Переход от отдельных токов и напряжений к входному импедансу сделал теорию линий удобной для расчёта высокочастотных цепей. Длинный отрезок оказался самостоятельным преобразователем нагрузки: его параметры нельзя свести к одному сопротивлению провода. В развитии этой идеи объединились распределённая электромагнитная модель и комплексное описание гармонического режима.

Раздел 14.5 учебника Хауса и Мелчера 1989 года выводит импеданс линии после представления напряжения и тока встречными волнами. Затем раздел 14.6 показывает тот же перенос через комплексную плоскость отражения. Современная дробь с тангенсом — аналитическая форма этого переноса. Четвертьволновой и полуволновой пределы в учебном изложении служат не историческими датами открытия, а проверками того, что алгебра соответствует физике границ.

Историческая линия формулы

Формула входного импеданса является результатом решения граничной задачи идеальной линии в гармоническом режиме. Без отдельного исторического доказательства ей не приписывается один автор; приведённый источник MIT фиксирует соглашения о направлениях волн и знаках комплексных величин.

Пример

Линия имеет Z₀=50 Ом, нагрузка R_L=100 Ом, длина участка ℓ=λ/8. Тогда θ=2π/8=π/4 и tan θ=1. Подстановка даёт Z_in=50·(100+j50)/(50+j100). Умножаем дробь на сопряжённое 50−j100: числитель становится 10000−j7500, знаменатель — 12500. Поэтому Z_in=50·(0,8−j0,6)=40−j30 Ом. Проверка модуля отражения: |(Z_in−50)/(Z_in+50)|=1/3, как у нагрузки (100−50)/(100+50). Модуль отражения сохранился, хотя вход уже не является чисто активным сопротивлением. Минус у мнимой части соответствует принятому соглашению exp(jωt).

Частая ошибка

Не используйте λ=c/f для кабеля без проверки скорости в диэлектрике. Не подставляйте градусы в tan, ожидающий радианы. Не вычисляйте бесконечный tan(π/2) численно вместо конечного предела всей дроби. Не прибавляйте Z₀ к нагрузке как последовательный резистор. При смене временного соглашения проверяйте знак мнимой части.

Практика

Задачи с решением

Полуволновой повторитель

Условие. Найдите Z_in для Z₀=50 Ом, Z_L=30+j20 Ом и ℓ=λ/2.

Решение. βℓ=π, tan π=0. Дробь сокращается до Z_in=Z_L.

Ответ. 30+j20 Ом.

Четвертьволновая инверсия

Условие. Найдите входной импеданс линии 50 Ом длиной λ/4 при резисторе 100 Ом на конце.

Решение. Берём предел при βℓ→π/2: Z_in=Z₀²/Z_L=2500/100=25 Ом.

Ответ. 25 Ом.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.5.html
https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.6.html
https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

Коэффициент отражения напряжения от нагрузки линии

$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$

Коэффициент отражения нагрузки — комплексное отношение амплитуды отражённой волны напряжения к падающей. Он показывает и величину возвращающейся волны, и изменение её фазы при несовпадении нагрузки с волновым сопротивлением линии.

Физика

Четвертьволновой трансформатор для согласования нагрузок

$Z_t=\sqrt{Z_sR_L},\qquad\ell=\frac{\lambda_t}{4}=\frac{v_t}{4f_0}$

Четвертьволновая секция согласует действительную нагрузку R_L с питающей линией Z_s, если её собственное волновое сопротивление равно геометрическому среднему этих сопротивлений. Длина секции задаётся длиной волны внутри неё.

Физика

Входная реактивность короткозамкнутого шлейфа

$Z_{in}=jZ_0\tan(\beta\ell)$

Короткозамкнутый на конце отрезок линии без потерь имеет чисто реактивный входной импеданс. Его знак и величина зависят от электрической длины: одна и та же секция может вести себя как индуктивность или ёмкость.

Физика

Входная реактивность разомкнутого шлейфа

$Z_{in}=-jZ_0\cot(\beta\ell)$

Разомкнутый отрезок линии без потерь имеет частотно зависимую входную реактивность. Электрически короткий открытый шлейф ведёт себя как ёмкость, а на четверти длины волны его вход становится короткозамкнутым.

Физика

Возвратные потери по коэффициенту отражения

$RL=-20\log_{10}|\Gamma|=-10\log_{10}\frac{P_r}{P_i}$

Возвратные потери выражают отражение в децибелах: чем меньше отражённая доля мощности, тем больше положительное RL. Показатель удобен для оценки согласования, но не равен потерям передачи через кабель.

Физика

Волновое сопротивление коаксиального кабеля по радиусам

$Z_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\mu\varepsilon}\ln\frac ba\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac ba\;\Omega$

Для идеального коаксиального кабеля волновое сопротивление определяется отношением внутреннего радиуса экрана к радиусу центральной жилы и проницаемостями заполнения. При немагнитном диэлектрике используется приближение 60ln(b/a)/√ε_r Ом.