Физика / Электричество

Волновое сопротивление коаксиального кабеля по радиусам

Для идеального коаксиального кабеля волновое сопротивление определяется отношением внутреннего радиуса экрана к радиусу центральной жилы и проницаемостями заполнения. При немагнитном диэлектрике используется приближение 60ln(b/a)/√ε_r Ом.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Формула

Z_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\mu\varepsilon}\ln\frac ba\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac ba\;\Omega

Схема Коаксиал при ε_r=2,25

Используется приближённый коэффициент 60 Ом и натуральный логарифм.

Обозначения

$a$: внешний радиус центрального проводника, м или та же единица, что у b
$b$: внутренний радиус внешнего проводника, b>a, та же единица, что у a
$ε_r$: относительная диэлектрическая проницаемость немагнитного заполнения, безразмерная
$μ,ε$: абсолютные магнитная и диэлектрическая проницаемости, Гн/м и Ф/м
$Z_0$: волновое сопротивление основной TEM-волны, Ом

Условия применения

Проводники концентричны и считаются идеальными, пространство между ними равномерно заполнено линейной средой. Рассматривается TEM-режим ниже существенного возбуждения высших мод. Приближённый коэффициент 60 Ом предполагает μ_r≈1; точная запись использует абсолютные μ и ε.

Ограничения

Формула не описывает потери в проводниках, неоднородное вспененное заполнение без эффективной модели, эксцентриситет жилы и переходы в разъёмах. Отношение b/a использует внутреннюю границу экрана, а не наружный диаметр оболочки. Уменьшение потерь или допустимая мощность не определяются одним только Z₀.

Подробное объяснение

Электрическое поле TEM-волны в идеальном коаксиале направлено радиально и убывает как 1/r. Интегрирование поля между радиусами a и b даёт логарифм ln(b/a). Из электростатической задачи получают погонную ёмкость C′=2πε/ln(b/a), а из магнитного поля — внешнюю погонную индуктивность L′=μln(b/a)/(2π).

Отношение этих параметров даёт Z₀=√(L′/C′)=(1/(2π))√(μ/ε)ln(b/a). Поэтому в однородном немагнитном заполнении числовой коэффициент близок к 60/√ε_r Ом. Логарифм должен быть натуральным: при переходе к десятичному коэффициент умножается на ln10 и становится примерно 138 Ом.

Если одновременно увеличить оба радиуса в одинаковое число раз, отношение b/a и волновое сопротивление останутся прежними. Однако размеры влияют на потери, допустимую мощность и частоты высших мод; электрическая эквивалентность по Z₀ не означает полной эквивалентности кабелей. При росте ε_r в четыре раза Z₀ уменьшается вдвое при неизменной геометрии.

Для обратного проектирования немагнитной идеальной секции используют b/a=exp(Z₀√ε_r/60). Полученное отношение затем связывают с доступным диаметром жилы и внутренним диаметром экрана. Нельзя применять формулу к обычной изолированной жиле без обратного концентрического проводника: у такой структуры другая полевая геометрия.

Как пользоваться формулой

Найдите радиус центральной жилы a и внутренний радиус экрана b; проверьте концентричность и условие b>a.
Запишите относительную диэлектрическую проницаемость заполнения и проверьте допущение μ_r≈1 для коэффициента 60 Ом.
Рассчитайте безразмерное отношение b/a в одинаковых единицах и возьмите его натуральный логарифм.
Умножьте ln(b/a) на 60/√ε_r либо используйте точный коэффициент через абсолютные μ и ε.
Для обратного выбора геометрии вычислите exp(Z₀√ε_r/60) и отдельно проверьте потери, режимы и механические размеры.

Историческая справка

Коаксиальная геометрия стала наглядным примером того, как электростатическая и магнитостатическая задачи определяют параметры бегущей волны. Между двумя концентрическими проводниками поля допускают аналитическое интегрирование, поэтому связь размеров и импеданса можно получить без подгонки к измеренной нагрузке. Она объединяет распределённую теорию линии с геометрией её поперечного сечения.

В разделе 14.2 учебника Хауса и Мелчера Electromagnetic Fields and Energy 1989 года обсуждаются TEM-линии произвольного сечения и связь полей с погонными параметрами. Современная коаксиальная формула сохраняет логарифм отношения радиусов, а распространённое число 60 Ом является округлённым результатом подстановки параметров вакуума для немагнитного заполнения. Его появление не означает эмпирический универсальный номинал кабеля.

Историческая линия формулы

Выражение следует из решений для электрического и магнитного полей коаксиальной TEM-линии. Ему не приписывается отдельный единственный автор; источник MIT используется для связи поперечной геометрии, погонных параметров и волнового сопротивления, а не для атрибуции изобретения кабеля.

Пример

Для учебной идеальной коаксиальной секции заданы a=1 мм, b=3 мм и ε_r=2,25; среда немагнитна. Отношение радиусов b/a=3, его натуральный логарифм ln3≈1,098612. По приближённой инженерной формуле Z₀=(60/√2,25)ln3=40·1,098612≈43,9445 Ом. Если оба радиуса удвоить до 2 и 6 мм, отношение останется равным трём и результат не изменится. Для получения 50 Ом при том же заполнении требуется b/a=exp(50·1,5/60)=exp(1,25)≈3,49034. Это расчёт идеальной TEM-модели с округлённым коэффициентом 60 Ом, а не подтверждение характеристик конкретного готового кабеля.

Частая ошибка

Не подставляйте наружный радиус изоляции или оболочки вместо внутреннего радиуса экрана. Не смешивайте миллиметры и метры в отношении b/a. Не используйте десятичный логарифм с коэффициентом 60 Ом. Не забывайте √ε_r в знаменателе. Не делайте вывод о допустимой мощности или затухании только по волновому сопротивлению.

Практика

Задачи с решением

Воздушное заполнение

Условие. При ε_r=1 и b/a=e найдите Z₀ по приближённой формуле.

Решение. ln(e)=1, поэтому Z₀=60·1/√1=60 Ом.

Ответ. 60 Ом по приближению с коэффициентом 60.

Влияние диэлектрика

Условие. При неизменных радиусах ε_r выросло с 1 до 4. Как изменится Z₀?

Решение. Зависимость обратна √ε_r. Отношение нового Z₀ к старому равно √1/√4=1/2.

Ответ. Уменьшится вдвое.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.2.html
https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.1.html
https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.

Физика

Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′

$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad t_d=\ell\sqrt{L'C'}$

Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.

Физика

Четвертьволновой трансформатор для согласования нагрузок

$Z_t=\sqrt{Z_sR_L},\qquad\ell=\frac{\lambda_t}{4}=\frac{v_t}{4f_0}$

Четвертьволновая секция согласует действительную нагрузку R_L с питающей линией Z_s, если её собственное волновое сопротивление равно геометрическому среднему этих сопротивлений. Длина секции задаётся длиной волны внутри неё.

Физика

Входной импеданс линии без потерь при известной длине

$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta\ell)},\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$

Входной импеданс показывает, какую нагрузку видит источник через отрезок линии. Даже кабель без потерь преобразует импеданс: результат зависит от волнового сопротивления, окончания и электрической длины βℓ.

Физика

Входная реактивность короткозамкнутого шлейфа

$Z_{in}=jZ_0\tan(\beta\ell)$

Короткозамкнутый на конце отрезок линии без потерь имеет чисто реактивный входной импеданс. Его знак и величина зависят от электрической длины: одна и та же секция может вести себя как индуктивность или ёмкость.

Физика

Входная реактивность разомкнутого шлейфа

$Z_{in}=-jZ_0\cot(\beta\ell)$

Разомкнутый отрезок линии без потерь имеет частотно зависимую входную реактивность. Электрически короткий открытый шлейф ведёт себя как ёмкость, а на четверти длины волны его вход становится короткозамкнутым.

Физика

Возвратные потери по коэффициенту отражения

$RL=-20\log_{10}|\Gamma|=-10\log_{10}\frac{P_r}{P_i}$

Возвратные потери выражают отражение в децибелах: чем меньше отражённая доля мощности, тем больше положительное RL. Показатель удобен для оценки согласования, но не равен потерям передачи через кабель.