Физика / Электричество

Входная реактивность короткозамкнутого шлейфа

Короткозамкнутый на конце отрезок линии без потерь имеет чисто реактивный входной импеданс. Его знак и величина зависят от электрической длины: одна и та же секция может вести себя как индуктивность или ёмкость.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Формула

Z_{in}=jZ_0\tan(\beta\ell)

Схема Закороченный шлейф, Z₀=50 Ом

Показана индуктивная область до первого полюса π/2, который в график не включён.

Обозначения

$Z_in$: входной импеданс короткозамкнутой секции, Ом
$Z_0$: волновое сопротивление секции, Ом
$βℓ$: фазовая длина участка, β=2π/λ, рад
$j$: мнимая единица при временном соглашении exp(jωt), безразмерная

Условия применения

Секция однородна, потери пренебрежимо малы, конец является идеальным коротким замыканием. Рассматривается установившийся гармонический режим с exp(jωt). В этой записи ток на входе направлен вдоль шлейфа к его окончанию.

Ограничения

При βℓ=π/2+mπ идеальная входная реактивность неограниченно растёт, а реальные потери и паразитные параметры ограничивают резонанс. Эквивалентный сосредоточенный элемент подходит лишь в ограниченной полосе. Короткое замыкание на конце не означает нулевой импеданс на входе при любой длине.

Подробное объяснение

Общая формула линии содержит нагрузку Z_L. Если конец закорочен, Z_L=0, и дробь упрощается до jZ₀tan(βℓ). Действительная часть исчезает, потому что идеальный шлейф не поглощает среднюю мощность: энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями и возвращается к источнику.

Для электрически короткого участка tan(βℓ)≈βℓ. С учётом β=ω√(L′C′) и Z₀=√(L′/C′) получается Z_in≈jωL′ℓ. Поэтому короткий закороченный шлейф эквивалентен индуктивности L′ℓ. Эта связь показывает, как распределённая модель переходит к привычному сосредоточенному элементу при малой длине.

В интервале 0<βℓ<π/2 тангенс положителен и вход индуктивен. После четверти волны, при π/2<βℓ<π, тангенс отрицателен и вход ёмкостный. Через полволны импеданс повторяется. Резонансное преобразование короткого замыкания в разомкнутый вход — предельный случай той же формулы.

В практической схеме необходимо уточнять, включается шлейф последовательно или параллельно. Для параллельного подключения удобнее работать с проводимостью Y_in=1/Z_in. Знак восприимчивости противоположен знаку реактивности, поэтому простое копирование знака jX в расчёт параллельного согласования приводит к неверному результату.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что окончание шлейфа действительно короткозамкнуто, а выбранное временное соглашение соответствует exp(jωt).
Рассчитайте длину волны внутри секции и безразмерный угол θ=βℓ=2πℓ/λ в радианах.
Вычислите реактивность X=Z₀tan θ и запишите входной импеданс в виде jX с сохранением знака.
По знаку X определите индуктивный или ёмкостный характер; возле четверти волны используйте предельный анализ.
Если шлейф включён параллельно, преобразуйте импеданс в проводимость, прежде чем складывать его с другими ветвями.

Историческая справка

Закороченная линия стала важным примером различия между локальной нагрузкой и тем, что наблюдается на удалённом входе. Она показывает, почему распределённую цепь нельзя всегда заменить проводом с одним активным сопротивлением. В высокочастотной технике этот же эффект используется конструктивно: отрезок линии играет роль реактивного элемента и резонатора.

Раздел 14.5 учебника Хауса и Мелчера 1989 года рассматривает гармонический режим и преобразование короткого замыкания четвертьволновым отрезком. В таком изложении тангенциальная зависимость получается из фаз встречных волн, а не из опытной подгонки реактивности. Современная инженерная запись jZ₀tan(βℓ) сохраняет тот же смысл, но требует явного соглашения о знаке временной экспоненты и о направлении тока на входе.

Историческая линия формулы

Формула короткозамкнутого шлейфа — частный случай общего входного импеданса линии при Z_L=0. В статье она не связывается с отдельным изобретателем: учебная атрибуция относится к выводу распределённой модели и согласованному выбору фазовых обозначений.

Пример

Пусть Z₀=50 Ом, длина шлейфа ℓ=λ/8, а его конец идеально закорочен. Электрическая длина θ=2π/8=π/4, tan θ=1. Поэтому Z_in=j50 Ом. На частоте 100 МГц это можно в одной рабочей точке сопоставить индуктивности L_eq=X/ω=50/(2π·10⁸)≈79,577 нГн. Проверка: jωL_eq=j50 Ом. Такое совпадение относится только к выбранной частоте: реактивность реального шлейфа изменяется как tan(βℓ), а идеальной катушки — линейно по частоте. Если увеличить длину до 3λ/8, tan(3π/4)=−1 и вход станет −j50 Ом, хотя замыкание на конце останется тем же.

Частая ошибка

Не заменяйте вход шлейфа нулевым сопротивлением только потому, что закорочен его конец. Не теряйте знак тангенса после четверти волны. Не считайте найденную эквивалентную индуктивность постоянной характеристикой длинной секции во всей полосе. Не складывайте импедансы параллельных ветвей напрямую: сначала перейдите к проводимостям.

Практика

Задачи с решением

Ёмкостный вход

Условие. Найдите Z_in шлейфа 75 Ом длиной 3λ/8 с коротким замыканием на конце.

Решение. βℓ=3π/4, tan(3π/4)=−1. Поэтому Z_in=j75·(−1)=−j75 Ом.

Ответ. −j75 Ом.

Полуволновая секция

Условие. Каким будет идеальный вход закороченного шлейфа длиной λ/2?

Решение. βℓ=π и tan π=0, следовательно Z_in=0. Полуволновая линия повторяет короткое замыкание нагрузки.

Ответ. Идеальное короткое замыкание, Z_in=0.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.5.html
https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.6.html
https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

Входная реактивность разомкнутого шлейфа

$Z_{in}=-jZ_0\cot(\beta\ell)$

Разомкнутый отрезок линии без потерь имеет частотно зависимую входную реактивность. Электрически короткий открытый шлейф ведёт себя как ёмкость, а на четверти длины волны его вход становится короткозамкнутым.

Физика

Входной импеданс линии без потерь при известной длине

$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta\ell)},\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$

Входной импеданс показывает, какую нагрузку видит источник через отрезок линии. Даже кабель без потерь преобразует импеданс: результат зависит от волнового сопротивления, окончания и электрической длины βℓ.

Физика

Четвертьволновой трансформатор для согласования нагрузок

$Z_t=\sqrt{Z_sR_L},\qquad\ell=\frac{\lambda_t}{4}=\frac{v_t}{4f_0}$

Четвертьволновая секция согласует действительную нагрузку R_L с питающей линией Z_s, если её собственное волновое сопротивление равно геометрическому среднему этих сопротивлений. Длина секции задаётся длиной волны внутри неё.

Физика

Возвратные потери по коэффициенту отражения

$RL=-20\log_{10}|\Gamma|=-10\log_{10}\frac{P_r}{P_i}$

Возвратные потери выражают отражение в децибелах: чем меньше отражённая доля мощности, тем больше положительное RL. Показатель удобен для оценки согласования, но не равен потерям передачи через кабель.

Физика

Волновое сопротивление коаксиального кабеля по радиусам

$Z_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\mu\varepsilon}\ln\frac ba\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac ba\;\Omega$

Для идеального коаксиального кабеля волновое сопротивление определяется отношением внутреннего радиуса экрана к радиусу центральной жилы и проницаемостями заполнения. При немагнитном диэлектрике используется приближение 60ln(b/a)/√ε_r Ом.