Физика / Электричество

Входная реактивность разомкнутого шлейфа

Разомкнутый отрезок линии без потерь имеет частотно зависимую входную реактивность. Электрически короткий открытый шлейф ведёт себя как ёмкость, а на четверти длины волны его вход становится короткозамкнутым.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Формула

Z_{in}=-jZ_0\cot(\beta\ell)

Схема Открытый шлейф, Z₀=50 Ом

В показанном диапазоне вход ёмкостный. Полюс при θ=0 намеренно исключён.

Обозначения

$Z_in$: импеданс на входе открытого шлейфа, Ом
$Z_0$: волновое сопротивление однородной секции, Ом
$βℓ$: электрическая длина секции, рад
$j$: мнимая единица при exp(jωt), безразмерная

Условия применения

На конце секции ток равен нулю, потери и краевая ёмкость окончания не учитываются. Режим установившийся гармонический, линия однородна. Формула относится к входу участка, а длина волны определяется его собственной скоростью распространения. Используется временное соглашение exp(jωt), определяющее знак реактивной части.

Ограничения

У открытого печатного окончания есть краевые поля и паразитная ёмкость, поэтому электрическая длина может отличаться от геометрической. При длинах mλ/2 импеданс стремится к бесконечности и нужно работать с пределом или проводимостью. Формула идеальной линии не учитывает излучение открытого конца.

Подробное объяснение

Разомкнутому окончанию соответствует предел Z_L→∞ в общей формуле линии. После деления числителя и знаменателя на Z_L остаётся Z_in=Z₀/(j tan βℓ)=−jZ₀cot βℓ. Минус перед j имеет физическое значение: для короткого открытого участка вход ёмкостный при принятом соглашении exp(jωt).

При малой электрической длине cot(βℓ)≈1/(βℓ). Тогда Z_in≈−jZ₀/(βℓ)=1/(jωC′ℓ). Следовательно, короткая открытая секция эквивалентна ёмкости C′ℓ. Здесь распределённая ёмкость не исчезает из-за отсутствия тока через сам разрыв: переменный ток входит в линию и заряжает электрическое поле между проводниками.

На четверти длины волны cot(π/2)=0 и входной импеданс равен нулю. Открытый конец преобразуется в короткий вход. Между четвертью и половиной волны котангенс отрицателен, поэтому вход становится индуктивным. Через половину волны характеристика повторяется, как у общей формулы идеальной линии.

Для параллельного включения часто удобнее записать Y_in=j tan(βℓ)/Z₀. В этой форме четвертьволновой короткий вход соответствует большой проводимости, а открытый вход на нулевой длине — нулевой. Выбор импеданса или проводимости должен соответствовать способу соединения шлейфа с остальной цепью, иначе знаки реактивности легко перепутать.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что секция разомкнута на дальнем конце, и отдельно оцените необходимость учёта краевой ёмкости окончания.
Найдите электрическую длину θ=2πℓ/λ для длины волны в выбранной конструкции, используя радианы.
Вычислите cot θ=cos θ/sin θ и умножьте на −Z₀, чтобы получить реактивность X в записи jX.
Если требуется эквивалентная ёмкость на одной частоте, используйте C_eq=−1/(ωX) только при отрицательном X.
При параллельном подключении рассчитывайте Y_in=1/Z_in и складывайте проводимости, а не импедансы ветвей.

Историческая справка

Открытая линия является парным примером к короткозамкнутой: граничное условие меняется с нулевого напряжения на нулевой ток. Развитие волнового описания позволило объяснить, почему разрыв на дальнем конце не запрещает входной переменный ток и накопление энергии в распределённой ёмкости. Это отличие особенно существенно для высокочастотных и печатных цепей.

В учебнике Хауса и Мелчера 1989 года такие преобразования рассматриваются в общей модели линии с произвольной нагрузкой. Современная запись через котангенс получается предельным переходом из комплексного импеданса, а не отдельным законом для открытого провода. При переходе от идеального учебного шлейфа к реальному конструктивному элементу добавляют краевые поля и потери, сохраняя исходный принцип фазового преобразования нагрузки.

Историческая линия формулы

Уравнение разомкнутого шлейфа является пределом общей формулы при Z_L→∞. Поэтому ему не приписывается отдельное единоличное авторство; использованные учебные источники подтверждают граничное условие и связь распределённой секции с ёмкостным пределом.

Пример

Открытый шлейф имеет Z₀=50 Ом и длину λ/8 на частоте 100 МГц. Угол θ=π/4, cot θ=1. Поэтому Z_in=−j50 Ом. Эквивалентная ёмкость в этой рабочей точке C_eq=1/(ω·50)=1/(2π·10⁸·50)≈31,831 пФ. Проверка даёт 1/(jωC_eq)=−j50 Ом. Проводимость той же секции равна Y_in=1/(−j50)=j0,02 См. Это не постоянная ёмкость шлейфа во всей полосе: при изменении частоты его реактивность следует котангенсу. Отрицательный знак X означает ёмкостный характер и согласуется с пределом электрически короткой открытой линии. Ответ дан в омах.

Частая ошибка

Не считайте открытый конец бесконечным входным импедансом для любой длины. Не теряйте минус при переходе от 1/(j tan θ) к −jcot θ. Не переносите эквивалентную ёмкость одной рабочей точки на широкую полосу. Не забывайте краевую ёмкость у реального открытого окончания и не суммируйте импедансы параллельных шлейфов.

Практика

Задачи с решением

Индуктивный открытый шлейф

Условие. Найдите Z_in для Z₀=75 Ом и ℓ=3λ/8.

Решение. cot(3π/4)=−1. Поэтому Z_in=−j75·(−1)=j75 Ом.

Ответ. j75 Ом.

Четверть волны

Условие. Найдите вход открытого шлейфа длиной λ/4.

Решение. βℓ=π/2, cot(π/2)=0. Поэтому Z_in=0, несмотря на разомкнутый дальний конец.

Ответ. Идеальный короткий вход, Z_in=0.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.5.html
https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter14/14.6.html
https://ocw.mit.edu/courses/res-6-001-electromagnetic-fields-and-energy-spring-2008/pages/chapter-14/

Связанные формулы

Физика

Входная реактивность короткозамкнутого шлейфа

$Z_{in}=jZ_0\tan(\beta\ell)$

Короткозамкнутый на конце отрезок линии без потерь имеет чисто реактивный входной импеданс. Его знак и величина зависят от электрической длины: одна и та же секция может вести себя как индуктивность или ёмкость.

Физика

Входной импеданс линии без потерь при известной длине

$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta\ell)}{Z_0+jZ_L\tan(\beta\ell)},\quad\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$

Входной импеданс показывает, какую нагрузку видит источник через отрезок линии. Даже кабель без потерь преобразует импеданс: результат зависит от волнового сопротивления, окончания и электрической длины βℓ.

Физика

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.

Физика

Четвертьволновой трансформатор для согласования нагрузок

$Z_t=\sqrt{Z_sR_L},\qquad\ell=\frac{\lambda_t}{4}=\frac{v_t}{4f_0}$

Четвертьволновая секция согласует действительную нагрузку R_L с питающей линией Z_s, если её собственное волновое сопротивление равно геометрическому среднему этих сопротивлений. Длина секции задаётся длиной волны внутри неё.

Физика

Возвратные потери по коэффициенту отражения

$RL=-20\log_{10}|\Gamma|=-10\log_{10}\frac{P_r}{P_i}$

Возвратные потери выражают отражение в децибелах: чем меньше отражённая доля мощности, тем больше положительное RL. Показатель удобен для оценки согласования, но не равен потерям передачи через кабель.

Физика

Волновое сопротивление коаксиального кабеля по радиусам

$Z_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac\mu\varepsilon}\ln\frac ba\approx\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac ba\;\Omega$

Для идеального коаксиального кабеля волновое сопротивление определяется отношением внутреннего радиуса экрана к радиусу центральной жилы и проницаемостями заполнения. При немагнитном диэлектрике используется приближение 60ln(b/a)/√ε_r Ом.