Инженерия / Инженерные измерения

Стандартное отклонение серии измерений

Стандартное отклонение серии измерений оценивает разброс отдельных результатов вокруг среднего и показывает повторяемость измерительного процесса.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

Диаграмма разброса Отклонения измерений от среднего

Точки серии показаны вокруг линии среднего, а вертикальные отрезки до линии обозначают отклонения, входящие в расчет стандартного отклонения.

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходная величина.

Обозначения

$s$: выборочное стандартное отклонение серии, единица измеряемой величины
$x_i$: отдельное измерение, единица измеряемой величины
$\bar{x}$: среднее значение серии, единица измеряемой величины
$n$: число измерений, безразмерная величина

Условия применения

Серия состоит минимум из двух измерений.
Измерения получены при сопоставимых условиях и относятся к одной величине.
Нужно оценить разброс выборки, поэтому в знаменателе используется n - 1.

Ограничения

Стандартное отклонение чувствительно к выбросам.
Малое число измерений дает грубую оценку разброса.
Показатель описывает случайный разброс серии, но не устраняет систематическую ошибку прибора.

Подробное объяснение

Стандартное отклонение превращает набор отклонений от среднего в одну величину разброса. Сначала каждое отклонение возводится в квадрат, чтобы положительные и отрицательные отклонения не компенсировали друг друга. Затем квадраты суммируются, делятся на n - 1 и из результата берется корень, чтобы вернуться к исходным единицам измерения.

Почему используется n - 1? Когда среднее значение оценивается по той же самой серии, одна степень свободы уже потрачена на нахождение среднего. Деление на n - 1 дает более корректную оценку разброса генерального процесса по выборке. В инженерной практике это важно, потому что серии измерений часто короткие: пять, десять или двадцать повторений.

Стандартное отклонение отвечает не на вопрос "где истинное значение", а на вопрос "насколько сильно отдельные измерения расходятся между собой". Если s мало, процесс повторяемый. Если s велико, нужно искать причины: плохая фиксация детали, недостаточное разрешение прибора, вибрация, температурный дрейф, различия между операторами или нестабильность самого объекта.

После расчета s обычно переходят к неопределенности среднего: s / sqrt(n). Эта величина уменьшается с ростом числа повторений, потому что среднее серии устойчивее отдельного измерения. Но само стандартное отклонение отдельного измерения от этого не исчезает: оно характеризует повторяемость процесса, а не только итоговое среднее.

Как пользоваться формулой

Найдите среднее значение серии измерений.
Вычтите среднее из каждого измерения.
Возведите каждое отклонение в квадрат.
Сложите квадраты отклонений и разделите на n - 1.
Извлеките квадратный корень и запишите результат в единицах измеряемой величины.

Историческая справка

Понятие стандартного отклонения связано с развитием теории ошибок, нормального распределения и статистической обработки наблюдений. В XIX веке методы оценки разброса стали особенно важны в астрономии, геодезии и физике, где исследователи работали с сериями наблюдений. В промышленной инженерии стандартное отклонение стало ключевым языком повторяемости, воспроизводимости и контроля качества. Современные метрологические документы используют его как основу стандартной неопределенности типа A, когда разброс оценивается статистически по повторным наблюдениям. В производстве тот же показатель помогает отличать случайную нестабильность процесса от единичной ошибки измерения.

Пример

Размер детали измерили пять раз: 10,00 мм, 10,02 мм, 10,01 мм, 10,03 мм, 9,99 мм. Среднее равно 10,01 мм. Отклонения от среднего: -0,01; 0,01; 0,00; 0,02; -0,02 мм. Квадраты отклонений: 0,0001; 0,0001; 0; 0,0004; 0,0004. Сумма квадратов равна 0,0010 мм². Делим на n - 1 = 4 и получаем 0,00025 мм². Корень дает s ≈ 0,0158 мм. Это означает, что типичный разброс отдельного измерения вокруг среднего порядка 0,016 мм, а не что каждая деталь имеет именно такое отклонение. Если рядом указать только среднее 10,01 мм, пользователь не увидит, насколько устойчивы повторные показания.

Частая ошибка

Частая ошибка - делить на n вместо n - 1 при оценке стандартного отклонения по выборке. Для больших серий разница мала, но при пяти или десяти измерениях она заметна. Вторая ошибка - считать стандартное отклонение средним отклонением без квадратов и корня. Третья ошибка - интерпретировать s как допуск детали: разброс измерений не равен допустимому разбросу размеров. Также нельзя делать вывод о точности прибора только по s, если не проверены калибровка, систематическое смещение и условия измерения.

Практика

Задачи с решением

Разброс массы

Условие. Серия измерений массы: 50,0 г, 50,2 г, 49,9 г, 50,1 г. Среднее равно 50,05 г. Найдите выборочное стандартное отклонение.

Решение. Отклонения: -0,05; 0,15; -0,15; 0,05 г. Квадраты: 0,0025; 0,0225; 0,0225; 0,0025. Сумма 0,0500. Делим на 3: 0,0167. Корень дает s ≈ 0,129 г.

Ответ. примерно 0,13 г

Стабильность датчика

Условие. Температура измерена как 20,1 °C, 20,1 °C, 20,2 °C, 20,0 °C, 20,1 °C. Почему стандартное отклонение полезнее простого диапазона?

Решение. Диапазон показывает только крайние значения: 20,2 - 20,0 = 0,2 °C. Стандартное отклонение учитывает все пять измерений и показывает типичный разброс вокруг среднего, поэтому лучше описывает повторяемость серии.

Ответ. Потому что учитывает все отклонения от среднего, а не только минимум и максимум

Дополнительные источники

NIST Technical Note 1297, Type A evaluation of standard uncertainty
NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook, Measurement Process Characterization
JCGM 100:2008, evaluation of measurement data

Связанные формулы

Инженерия

Среднее значение серии измерений

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

Среднее значение серии измерений используют как оценку результата, когда одну и ту же величину измеряют несколько раз и хотят уменьшить влияние случайного разброса.

Инженерия

Стандартная неопределенность среднего

$u_A(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$

Стандартная неопределенность среднего показывает, насколько надежно среднее серии измерений оценивает измеряемую величину при случайном разбросе наблюдений.

Инженерия

Расширенная неопределенность измерения

$U=k\,u_c$

Расширенная неопределенность равна комбинированной стандартной неопределенности, умноженной на коэффициент охвата, и используется для записи результата измерения интервалом.