Физика / Молекулярная физика
Температурное напряжение в закреплённом стержне
В стержне с полностью запрещённым продольным расширением равномерный нагрев создаёт сжимающее напряжение σ = −EαΔT. Свободный стержень при тех же условиях расширяется без такого напряжения.
Формула
Полное продольное закрепление, E = 200 ГПа, α = 12 · 10⁻⁶ К⁻¹. Показан модуль сжатия.
Обозначения
- $σ$
- продольное нормальное напряжение; растяжение положительно, Па
- $E$
- модуль Юнга, Па
- $α$
- коэффициент линейного теплового расширения, К⁻¹
- $ΔT$
- изменение температуры относительно ненапряжённого состояния, К
Условия применения
Стержень однородный, температура меняется равномерно, оба конца удерживают неизменное расстояние. Деформации малы, материал остаётся линейно упругим, E и α постоянны. Рассматривается одноосное состояние; поперечные поверхности свободны.
Ограничения
При податливых опорах напряжение меньше и определяется совместной деформацией. Пластичность, ползучесть, потеря устойчивости и неоднородный нагрев требуют других моделей. Полностью стеснённое трёхосное расширение нельзя рассчитывать этой одноосной формулой.
Подробное объяснение
Свободная температурная деформация равна αΔT: это относительное удлинение, которое возникло бы без опор. Механическая упругая деформация по закону Гука равна σ/E. При неизменном расстоянии между концами сумма этих деформаций должна быть нулевой: σ/E + αΔT = 0. Отсюда и следует знак минус.
При положительном α нагрев стремится удлинить стержень, а опоры сжимают его настолько, чтобы компенсировать это удлинение. Если растяжение принято положительным, напряжение отрицательно. При охлаждении знак меняется: стержень стремится укоротиться, но опоры растягивают его.
Длина и площадь не входят в выражение напряжения. Длина сокращается при переходе к относительной деформации, а площадь нужна для силы: F = σS. Поэтому одинаковое напряжение в тонком и толстом стержне соответствует разным усилиям на опорах.
Отсчёт температуры принципиален. ΔT считают от состояния, в котором стержень закреплён без начального усилия. Если до нагрева уже было натяжение, в линейной модели добавляют начальное напряжение. Если стержень свободен с одного конца, условие нулевой общей деформации не выполняется и формулу применять нельзя.
Как пользоваться формулой
- Определите температуру закрепления без начального усилия и найдите ΔT.
- Проверьте полное продольное закрепление и равномерность температуры.
- Переведите E в паскали, умножьте EαΔT и назначьте знак по принятому соглашению.
- При необходимости найдите усилие F = σS по площади сечения.
- Сопоставьте результат с областью упругости и условиями устойчивости, прежде чем использовать его как инженерную оценку.
Историческая справка
Теория температурных напряжений соединяет два направления классической физики: упругость тел и измерение теплового расширения. Линейный закон Гука описывает механическую часть деформации, а коэффициент расширения — изменение размеров при изменении температуры. Условие закрепления связывает эти две части.
В технических задачах такое сочетание стало необходимым при проектировании длинных металлических элементов, трубопроводов и деталей, работающих при переменной температуре. Простая одноосная формула показывает причину напряжений, но развитие теории упругости добавило расчёты неоднородных температурных полей и сложных закреплений. Исторически это пример перехода от отдельного закона материала к задаче с граничными условиями: без описания опор одной характеристики расширения недостаточно.
Историческая линия формулы
Соотношение выводится из закона Гука и условия нулевой суммарной продольной деформации. Его нельзя представлять как универсальный закон любого температурного напряжения: результат относится к конкретной одноосной схеме закрепления и принятой линейной модели материала.
Пример
Стержень закреплён без усилия при 20 °C, затем равномерно нагрет до 70 °C. Дано E = 200 ГПа и α = 12 · 10⁻⁶ К⁻¹. Перепад ΔT = 50 К. Свободная деформация составила бы 0,0006, но опоры её запрещают. Напряжение σ = −200 · 10⁹ · 12 · 10⁻⁶ · 50 = −120 · 10⁶ Па. Ответ: сжатие 120 МПа. Если площадь равна 100 мм² = 10⁻⁴ м², модуль усилия равен 12 000 Н. Формула не доказывает, что тонкий стержень выдержит такое усилие: до достижения расчётного напряжения возможна потеря устойчивости. Проверяется именно упругая модель полного продольного закрепления.
Частая ошибка
Нельзя применять формулу к свободно удлиняющемуся стержню. Гигапаскали нужно переводить в паскали, а коэффициент α не путать с объёмным расширением β. Знак определяется соглашением о растяжении; при нагреве закреплённого обычного материала возникает сжатие. Равномерная температура не означает отсутствие напряжения, если деформация запрещена.
Практика
Задачи с решением
Охлаждение
Условие. При E = 200 ГПа и α = 12 · 10⁻⁶ К⁻¹ закреплённый стержень охлаждают на 20 К. Найдите σ.
Решение. ΔT = −20 К. σ = −200 · 10⁹ · 12 · 10⁻⁶ · (−20) = 48 · 10⁶ Па.
Ответ. Растяжение 48 МПа.
Другой материал
Условие. Примите E = 70 ГПа, α = 23 · 10⁻⁶ К⁻¹ и нагрев на 40 К при полном закреплении.
Решение. σ = −70 · 10⁹ · 23 · 10⁻⁶ · 40 = −64,4 · 10⁶ Па.
Ответ. Сжатие 64,4 МПа.
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/1-3-thermal-expansion
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/12-3-stress-strain-and-elastic-modulus
Связанные формулы
Инженерия
Линейное тепловое расширение детали
Линейное тепловое расширение детали: формула \Delta L=\alpha L_0\Delta T помогает величины DeltaL, alpha, L_0, DeltaT заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Физика
Объёмное тепловое расширение вещества
Коэффициент объёмного расширения β связывает изменение температуры с относительным изменением объёма. При небольшом перепаде температур используют линейную запись ΔV = βV₀ΔT.
Физика
Количество теплоты при нагревании
Количество теплоты при нагревании равно произведению удельной теплоемкости, массы и изменения температуры: Q = cmΔt. Эта связь применима без плавления, кипения и других фазовых переходов.