Физика / Молекулярная физика
Объёмное тепловое расширение вещества
Коэффициент объёмного расширения β связывает изменение температуры с относительным изменением объёма. При небольшом перепаде температур используют линейную запись ΔV = βV₀ΔT.
Формула
Начальный объём 2 л, β = 2 · 10⁻⁴ К⁻¹, свободное расширение.
Обозначения
- $ΔV$
- изменение объёма, м³
- $V₀$
- начальный объём, м³
- $V$
- конечный объём, м³
- $β$
- коэффициент объёмного расширения, К⁻¹
- $ΔT$
- изменение температуры, К
Условия применения
Расширение свободное, температура тела достаточно равномерна, давление практически постоянно. На небольшом интервале β считают постоянным и пренебрегают членами высших порядков. Фазовые переходы отсутствуют; коэффициент относится к данному веществу и диапазону температур.
Ограничения
У воды около 4 °C знак и величина расширения требуют особого внимания. Вблизи фазового перехода постоянная β непригодна. В жёстком закрытом сосуде объём не может свободно изменяться и вместо этого растёт давление; расчёт требует сжимаемости вещества и упругости стенок.
Подробное объяснение
Коэффициент β определяют как относительную скорость изменения объёма с температурой при постоянном давлении. При малом перепаде температуры производную заменяют конечным отношением ΔV/(V₀ΔT). Именно это приближение приводит к линейной формуле. Если коэффициент заметно меняется, необходимо интегрировать его температурную зависимость.
Для изотропного твёрдого тела линейные размеры меняются примерно в 1 + αΔT раз. Объём меняется в кубе этого множителя. После отбрасывания малых квадратичных и кубических членов получается β ≈ 3α. Это не три независимых деформации жидкости: для жидкости обычно сразу используют объёмный коэффициент.
Изменение объёма и конечный объём — разные величины. При нагреве ΔV может составлять несколько миллилитров на литр исходной жидкости, тогда как V остаётся близким к исходному литру. Ошибка в этом различии меняет смысл результата.
Если жидкость находится в сосуде, сам сосуд тоже расширяется. Видимое увеличение занятого объёма относительно метки зависит примерно от разности коэффициентов жидкости и ёмкости. Формула для одной жидкости описывает её собственный объём и не включает изменение геометрии стенок.
Как пользоваться формулой
- Определите начальный объём и коэффициент β для нужного интервала температур.
- Найдите ΔT и проверьте возможность свободного расширения без фазового перехода.
- Вычислите ΔV = βV₀ΔT, сохранив знак охлаждения или нагрева.
- Для конечного объёма прибавьте ΔV к V₀.
- Если измеряется уровень в сосуде, отдельно учтите расширение самой ёмкости.
Историческая справка
Измерение теплового расширения связано с развитием термометрии и изучением свойств жидкостей и твёрдых тел. Наблюдаемое изменение объёма позволило строить температурные шкалы, но одновременно потребовало учитывать свойства самой измерительной ёмкости.
Позднее коэффициенты расширения стали описывать как производные, что отделило точное локальное определение от приближённой линейной формулы на конечном интервале. Для изотропных твёрдых тел связь β ≈ 3α следует из геометрии малых деформаций. Современные таблицы дают коэффициенты для конкретных веществ и температур, поскольку универсального одинакового расширения не существует. Простая запись полезна именно тогда, когда её диапазон и механические условия — свободное расширение при почти постоянном давлении — явно указаны.
Историческая линия формулы
Объёмное расширение является измеряемым свойством вещества; приведённая формула представляет линейное приближение определения коэффициента β. Связь с линейным коэффициентом следует из геометрии изотропного тела и не требует приписывать её отдельному авторскому закону.
Пример
Начальный объём жидкости V₀ = 2,00 л, по условию β = 2,0 · 10⁻⁴ К⁻¹ и нагрев ΔT = 30 К. Относительное расширение βΔT = 0,006. Поэтому ΔV = 2,00 · 0,006 = 0,0120 л = 12,0 мл, а конечный объём V = 2,012 л. Ответ относится к свободному расширению при принятом постоянном коэффициенте. Поскольку произведение βΔT значительно меньше единицы, линейное приближение согласуется с небольшим изменением объёма. Если исходно заполнен сосуд ровно на 2 л, перелив нельзя точно определить без сведений о расширении сосуда; найденные 12 мл описывают изменение объёма жидкости, а не автоматически вылившееся количество.
Частая ошибка
Коэффициент линейного расширения α нельзя подставлять вместо объёмного β. Следует различать ΔV и V, а литры и миллилитры переводить последовательно. Нельзя считать коэффициент постоянным через фазовый переход. Для закреплённого или закрытого образца свободное расширение не является фактическим изменением объёма.
Практика
Задачи с решением
Охлаждение литра
Условие. Жидкость объёмом 1 л имеет β = 5 · 10⁻⁴ К⁻¹ и охлаждается на 10 К. Найдите ΔV.
Решение. ΔV = 5 · 10⁻⁴ · 1 · (−10) = −0,005 л.
Ответ. Объём уменьшится на 5 мл.
Изотропное тело
Условие. V₀ = 1000 см³, α = 10⁻⁵ К⁻¹, ΔT = 100 К. Оцените ΔV в линейном приближении.
Решение. β ≈ 3α = 3 · 10⁻⁵ К⁻¹. ΔV = 3 · 10⁻⁵ · 1000 · 100 = 3 см³.
Ответ. 3 см³.
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/1-3-thermal-expansion
- https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/13-2-thermal-expansion-of-solids-and-liquids
Связанные формулы
Инженерия
Линейное тепловое расширение детали
Линейное тепловое расширение детали: формула \Delta L=\alpha L_0\Delta T помогает величины DeltaL, alpha, L_0, DeltaT заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Физика
Температурное напряжение в закреплённом стержне
В стержне с полностью запрещённым продольным расширением равномерный нагрев создаёт сжимающее напряжение σ = −EαΔT. Свободный стержень при тех же условиях расширяется без такого напряжения.
Физика
Количество теплоты при нагревании
Количество теплоты при нагревании равно произведению удельной теплоемкости, массы и изменения температуры: Q = cmΔt. Эта связь применима без плавления, кипения и других фазовых переходов.