Физика / Молекулярная физика

Теплопроводность через цилиндрическую стенку

Установившаяся мощность радиального теплового потока через цилиндрическую стенку зависит от логарифма отношения радиусов. Площадь переноса меняется по толщине, поэтому плоская формула с одной площадью здесь неточна.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

P=\frac{2\pi\lambda L(T_1-T_2)}{\ln(r_2/r_1)}

График P, Вт и r₂/r₁

λ = 0,050 Вт/(м·К), L = 1 м, перепад поверхностных температур 100 К.

Обозначения

$P$: мощность радиального теплового потока наружу, Вт
$λ$: теплопроводность материала стенки, Вт/(м·К)
$L$: длина цилиндрического участка, м
T₁, T₂: температуры внутренней и наружной поверхности, К или °C
r₁, r₂: внутренний и наружный радиусы, r₂ > r₁, м

Условия применения

Режим установившийся, теплопроводность постоянна, стенка однородная, тепло переносится только радиально. Температуры поверхностей равномерны, внутренних источников нет. Участок достаточно длинный, чтобы пренебречь торцевыми потерями; радиусы положительны и r₂ > r₁.

Ограничения

Температуры жидкости внутри трубы и воздуха снаружи не равны автоматически температурам стенки: нужны сопротивления теплоотдачи. Для короткого цилиндра важны торцы. При переменной λ, внутреннем нагреве или нестационарности требуются дополнительные уравнения.

Подробное объяснение

В цилиндрической геометрии площадь поверхности переноса равна 2πrL и увеличивается по мере удаления от оси. При установившемся режиме одна и та же мощность проходит через каждую такую поверхность. Поэтому плотность потока уменьшается с радиусом, хотя полная мощность остаётся постоянной.

Закон Фурье даёт P = −λ · 2πrL · dT/dr. После разделения переменных интегрируют dT и dr/r между поверхностями. Интеграл 1/r приводит к ln(r₂/r₁), откуда получается формула. Температурный профиль в стенке логарифмический, а не линейный.

Удобно определить сопротивление Rth = ln(r₂/r₁)/(2πλL), тогда P = (T₁ − T₂)/Rth. Его единица — К/Вт, в отличие от удельного сопротивления плоского строительного слоя в м² · К/Вт. При нескольких цилиндрических слоях сопротивления складывают с радиусами каждого слоя.

Если стенка очень тонкая по сравнению с радиусом, логарифм ln(1 + δ/r₁) приблизительно равен δ/r₁. Формула тогда переходит к плоскому приближению с площадью 2πr₁L. Эта проверка объясняет, когда упрощение допустимо, а когда изменение площади по толщине уже существенно.

Как пользоваться формулой

Определите именно температуры поверхностей и геометрические радиусы, а не диаметры вперемешку.
Проверьте r₂ > r₁ и рассчитайте натуральный логарифм r₂/r₁.
Умножьте 2πλL на разность температур и разделите на логарифм.
Запишите мощность в ваттах и при необходимости найдите энергию E = Pt.
Если заданы температуры сред, добавьте сопротивления теплоотдачи на обеих поверхностях.

Историческая справка

Расчёт цилиндрических стенок развился как приложение теории теплопроводности к трубам и тепловой изоляции. Общий закон Фурье сохраняется, но геометрия определяет площадь, через которую переносится энергия. Интегрирование при радиальной симметрии даёт логарифмический профиль вместо линейного профиля плоской стенки.

Представление через тепловое сопротивление позволило объединять слои и граничную теплоотдачу в последовательные расчётные схемы. Такой подход стал стандартным в теплотехнике, поскольку отделяет свойства материала от размеров и условий поверхности. Формула остаётся учебным примером того, почему перенос готовой плоской зависимости на криволинейный объект требует проверки, даже когда материал и перепад температур одинаковы.

Историческая линия формулы

Результат является интегральным следствием закона Фурье для радиальной цилиндрической геометрии. Логарифм возникает из изменения площади 2πrL с радиусом; это не отдельный эмпирический закон конкретного изоляционного материала.

Пример

Цилиндрическая изоляция имеет r₁ = 0,020 м, r₂ = 0,040 м, L = 1 м и λ = 0,050 Вт/(м · К). Температуры её поверхностей отличаются на 100 К. Отношение радиусов равно 2, ln 2 ≈ 0,693147. Мощность P = 2π · 0,050 · 1 · 100/0,693147 ≈ 45,324 Вт. За один час установившегося режима проходит E = P · 3600 ≈ 163 165 Дж, или 163,17 кДж. Ответ относится только к теплопроводности слоя между заданными поверхностями. Замена этих температур температурой жидкости и воздуха без учёта теплоотдачи изменила бы задачу и могла бы завысить рассчитанный поток.

Частая ошибка

Нельзя подставлять толщину вместо наружного радиуса в логарифм. В обоих радиусах должны быть одинаковые единицы; логарифм отношения безразмерен. Мощность в ваттах не равна энергии в джоулях. Использование одной площади плоской стенки без оценки относительной толщины игнорирует цилиндрическую геометрию.

Практика

Задачи с решением

Двойная длина

Условие. Условия примера те же, но L = 2 м. Найдите P.

Решение. Мощность пропорциональна длине: P = 2 · 45,3236 ≈ 90,6472 Вт.

Ответ. Около 90,65 Вт.

Сопротивление слоя

Условие. r₂/r₁ = 2, λ = 0,050 Вт/(м · К), L = 1 м. Найдите Rth.

Решение. Rth = ln 2/(2π · 0,050 · 1) ≈ 2,20636 К/Вт.

Ответ. Около 2,206 К/Вт.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/16.unified/www/SPRING/propulsion/notes/node114.html
https://ocw.mit.edu/courses/16-050-thermal-energy-fall-2002/87d9f4544b7fd64a77201382500d057c_10_part3.pdf

Связанные формулы

Инженерия

Закон Фурье для теплопроводности

$q=-\lambda A\frac{dT}{dx}$

Закон Фурье для теплопроводности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.

Инженерия

Теплопроводность через плоскую стенку

$Q=\lambda A\frac{\Delta T}{\delta}$

Теплопроводность через плоскую стенку: формула Q=\lambda A\frac{\Delta T}{\delta} помогает величины Q, lambda, A, DeltaT заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Температуропроводность вещества

$a=\frac{\lambda}{\rho c}$

Температуропроводность a характеризует скорость выравнивания температуры теплопроводностью. Она равна отношению теплопроводности λ к объёмной теплоёмкости ρc и измеряется в м²/с.