Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Углы при параллельных прямых и секущей

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классГеометрияЕсть историческая справка

Формула

$$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$$
Схема параллельных прямых Пары углов при секущей

Две параллельные прямые пересечены секущей; на схеме выделены равные пары и односторонние внутренние углы.

Сначала проверьте параллельность прямых, затем выбирайте нужную пару углов.

Обозначения

a, b
параллельные прямые
$\alpha, \beta$
пары равных углов при секущей, градусы
$\gamma, \delta$
односторонние внутренние углы, градусы

Условия применения

  • Прямые a и b параллельны.
  • Третья прямая пересекает обе параллельные прямые и является секущей.
  • Пары углов правильно определены: соответственные, накрест лежащие или односторонние.

Ограничения

  • Если прямые не доказаны параллельными и параллельность не дана, равенство углов использовать нельзя.
  • Нужно различать виды углов при секущей: не всякая визуально похожая пара обязательно равна.
  • Чертеж может быть неточным, поэтому вывод делают по условиям задачи, а не по измерению линейкой или транспортиром.

Подробное объяснение

Когда секущая пересекает две параллельные прямые, образуется восемь углов. Между ними возникают устойчивые связи: соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних внутренних углов равна 180 градусам.

Эти свойства позволяют решать задачи без измерения. Если известен один угол, через равенство вертикальных, смежных и углов при параллельных прямых можно найти остальные. Поэтому тема связывает сразу несколько фактов геометрии 7 класса.

Особенно важно правильно называть пары углов. Накрест лежащие углы находятся по разные стороны секущей и между параллельными прямыми. Соответственные занимают одинаковое положение у двух пересечений. Односторонние внутренние лежат между прямыми по одну сторону секущей.

В доказательствах эти свойства работают как мост: параллельность прямых дает равенство углов, а найденные углы затем помогают доказывать свойства треугольников и многоугольников.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что в задаче даны или доказаны параллельные прямые.
  2. Найдите секущую и отметьте нужные пары углов.
  3. Для соответственных и накрест лежащих углов используйте равенство.
  4. Для односторонних внутренних углов используйте сумму 180 градусов.
  5. Проверьте результат через смежные или вертикальные углы, если они есть на рисунке.

Историческая справка

Свойства углов при параллельных прямых относятся к классической евклидовой геометрии. Они тесно связаны с представлениями о параллельности, смежных и вертикальных углах, а также с построением строгих доказательств. В школьном курсе эти свойства появляются рано, потому что позволяют решать большое число задач на треугольники и многоугольники без вычислительной алгебры. Исторически такая геометрия была важна для землемерия, архитектуры и черчения: параллельные линии и углы дают надежный язык описания формы. В учебной традиции XIX-XX веков такие правила получили устойчивую короткую запись, потому что школьная алгебра и геометрия стали массовыми предметами. Краткая формула заменила длинное словесное рассуждение, но сохранила связь с исходным определением, вычислительной практикой и доказательством.

Историческая линия формулы

Свойства углов при параллельных прямых не имеют одного автора в школьной формулировке. Они принадлежат классической евклидовой геометрии и опираются на систему аксиом и доказательств о прямых и углах. Атрибуция относится к общей школьной и классической математической традиции: формула выводится из определения и стандартных правил действий, а не из отдельной авторской публикации.

Пример

Пусть две параллельные прямые пересечены секущей. Один из внутренних накрест лежащих углов равен 68 градусов. Тогда второй накрест лежащий угол тоже равен 68 градусов. Смежный с ним угол равен 180 - 68 = 112 градусов. Односторонний внутренний угол с исходным также дает сумму 180 градусов, значит равен 112 градусов. Так по одному углу можно восстановить остальные углы на схеме. Важно сначала убедиться, что прямые действительно параллельны: если это только кажется по рисунку, пользоваться формулой нельзя.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять свойства параллельных прямых к любым двум прямым на рисунке. Другая ошибка - путать накрест лежащие углы с односторонними: первые равны, вторые в сумме дают 180 градусов. Еще нельзя делать вывод только потому, что углы на рисунке выглядят одинаковыми; школьная геометрия требует опираться на дано, доказано или уже известное свойство.

Практика

Задачи с решением

Найти накрест лежащий угол

Условие. При параллельных прямых один внутренний накрест лежащий угол равен 74 градуса. Чему равен второй?

Решение. При параллельных прямых накрест лежащие углы равны. Значит, второй угол тоже равен 74 градуса.

Ответ. 74 градуса

Найти односторонний угол

Условие. Один из односторонних внутренних углов равен 118 градусов. Найдите второй.

Решение. Односторонние внутренние углы при параллельных прямых в сумме дают 180 градусов. Второй угол равен 180 - 118 = 62 градуса.

Ответ. 62 градуса

Дополнительные источники

  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7-9 классы. Начальные геометрические сведения и треугольники
  • Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы. Главы о прямых, углах и треугольниках
  • ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, геометрические фигуры и величины

Связанные формулы

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Признак параллельности прямых по углам

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.