Математика / Пределы, ряды

Верхняя и нижняя суммы Дарбу

Суммы Дарбу оценивают площадь под ограниченной функцией сверху и снизу. Их сближение служит строгим критерием римановой интегрируемости. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i

Обозначения

$P$: разбиение отрезка [a,b] точками a=x_0<...<x_n=b, набор точек
$\Delta x_i$: длина i-го промежутка x_i-x_{i-1}, единицы x
$M_i$: супремум f на i-м промежутке, единицы f
$m_i$: инфимум f на i-м промежутке, единицы f

Условия применения

Функция f ограничена на отрезке [a,b].
Разбиение P конечно и упорядочено от a до b.
На каждом подотрезке существуют супремум и инфимум значений функции.
Для критерия интегрируемости рассматриваются уточнения разбиений и разность U(f,P)-L(f,P).

Ограничения

Суммы Дарбу описывают интеграл Римана на отрезке, а не автоматически интегралы Лебега или несобственные интегралы.
Для неограниченной функции на отрезке классические суммы Дарбу неприменимы без модификаций.
Одна пара сумм на грубом разбиении не доказывает интегрируемость; нужно уметь сделать разность сколь угодно малой.
Супремум и инфимум могут не достигаться как максимум и минимум.

Подробное объяснение

Нижняя сумма Дарбу складывает площади прямоугольников, высота которых равна наименьшему возможному значению функции на каждом подотрезке. Верхняя сумма делает то же самое с наибольшим возможным значением. Поэтому настоящий интеграл, если он существует, должен лежать между этими двумя оценками.

При уточнении разбиения нижние суммы не уменьшаются, а верхние не увеличиваются. Более мелкие промежутки лучше отслеживают колебания функции, потому что супремум и инфимум берутся на меньших множествах. Если за счет уточнения можно сделать зазор U-L сколь угодно малым, площадь определена однозначно.

Суммы Дарбу удобны тем, что не требуют выбирать точки внутри промежутков, как в суммах Римана. Они работают с худшими верхними и нижними оценками, поэтому хорошо подходят для доказательства интегрируемости непрерывных и монотонных функций.

Критерий Дарбу также показывает, почему ограниченность важна. Если функция имеет слишком большой разрыв или неограниченное поведение, верхние и нижние оценки могут не сближаться. Для функции Дирихле на любом промежутке инфимум равен 0, а супремум 1, поэтому зазор не исчезает.

В вычислительных задачах суммы Дарбу редко дают самый быстрый способ найти интеграл, но они объясняют, что означает площадь в строгом смысле: не рисунок под кривой, а общий предел верхних и нижних ступенчатых приближений.

Как пользоваться формулой

Разбейте отрезок [a,b] на конечные подотрезки и запишите их длины Δx_i.
На каждом подотрезке найдите или оцените инфимум m_i и супремум M_i функции.
Составьте нижнюю сумму L как сумму m_iΔx_i и верхнюю сумму U как сумму M_iΔx_i.
Для доказательства интегрируемости покажите, что при уточнении можно добиться U-L<epsilon.
Если обе суммы имеют общий предел, примите его за интеграл Римана.
Проверьте ограниченность функции на всем исходном отрезке.

Историческая справка

Гастон Дарбу во второй половине XIX века уточнил подход к интегралу Римана через верхние и нижние суммы. Его работа была частью общей программы строгого анализа, где интуитивные площади заменялись точными предельными конструкциями.

Бернхард Риман в 1854 году предложил определение интеграла через суммы с выбранными точками на разбиениях. Дарбу-подход оказался эквивалентным для ограниченных функций на отрезке, но часто более удобным для доказательств, потому что работает с крайними значениями функции на каждом промежутке.

В учебной традиции суммы Дарбу стали стандартным способом объяснять критерий интегрируемости: верхняя и нижняя площади должны сжиматься к одному числу. Этот язык также подготовил дальнейшее развитие теории меры, где вопрос о размерах множеств разрывов и колебаний функции стал центральным. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Историческая линия формулы

Формулы верхней и нижней сумм названы в честь Гастона Дарбу, но они тесно связаны с римановой теорией интеграла. Корректная атрибуция: Дарбу дал удобную эквивалентную форму и критерий интегрируемости, а не заменил всю конструкцию интеграла Римана. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Показать через суммы Дарбу, что f(x)=x интегрируема на [0,1], и найти предельную площадь. Дано: равное разбиение P_n на n частей, x_i=i/n. Так как f возрастает, на i-м промежутке [(i-1)/n,i/n] имеем m_i=(i-1)/n, M_i=i/n, Δx_i=1/n. Нижняя сумма L_n=sum_{i=1}^n ((i-1)/n)(1/n)=n(n-1)/(2n^2)=(n-1)/(2n). Верхняя сумма U_n=sum_{i=1}^n (i/n)(1/n)=n(n+1)/(2n^2)=(n+1)/(2n). Разность U_n-L_n=1/n→0, а обе суммы стремятся к 1/2. Ответ: функция интегрируема, ∫_0^1 x dx=1/2. Проверка: значение совпадает с площадью прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Частая ошибка — заменять супремум и инфимум значениями в произвольно выбранных точках; так получается сумма Римана, а не сумма Дарбу. Другая ошибка — считать, что малый зазор на одном конкретном разбиении уже доказывает интегрируемость для любой точности. Для разрывных функций часто неверно берут максимум и минимум, хотя значения могут не достигаться. Также забывают, что верхняя сумма всегда не меньше нижней; если получилось наоборот, перепутаны оценки или длины.

Практика

Задачи с решением

Суммы для f(x)=x на [0,1]

Условие. Взять разбиение P={0,1/2,1}. Найти L и U.

Решение. На [0,1/2] m=0, M=1/2; на [1/2,1] m=1/2, M=1. L=0·1/2+1/2·1/2=1/4, U=1/2·1/2+1·1/2=3/4.

Ответ. L=1/4, U=3/4.

Разность сумм

Условие. Для f(x)=x на [0,1] и равного разбиения на n частей оценить U-L.

Решение. На каждом промежутке колебание равно 1/n, длина равна 1/n. Поэтому U-L=n·(1/n)(1/n)=1/n.

Ответ. U-L=1/n→0.

Дополнительные источники

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, chapter 6, Riemann-Stieltjes integral
Apostol, Calculus, Vol. 1, definition of the Riemann integral
Zorich, Mathematical Analysis I, Riemann integral
Fichtenholz, Differential and Integral Calculus, Vol. 2, definite integral

Связанные формулы

Математика

Свойства определенного интеграла

$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$

Набор базовых алгебраических свойств определенного интеграла: линейность, смена знаков пределов, нулевой интеграл на пустом отрезке.

Математика

Площадь под графиком

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.

Математика

Аддитивность на промежутке

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Интеграл по большому отрезку равен сумме интегралов по частям, если c принадлежит [a,b]. Эта страница показывает не только формулу, но и условия ее применения, типичные ошибки и связь с соседними правилами определенного интеграла.

Математика

Формула Ньютона-Лейбница

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.

Математика

Среднее значение функции на отрезке

$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Формула среднего значения связывает значение функции на отрезке с ее интегралом и даёт характеристику типичного уровня функции на [a,b].