Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Граница Буля—Бонферрони для объединения событий

Вероятность хотя бы одного из нескольких событий не превосходит суммы их вероятностей. Граница работает без независимости и позволяет контролировать общую ошибку по отдельным рискам.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\Pr\!\left(\bigcup_{i=1}^{m}A_i\right)\le\min\!\left(1,\sum_{i=1}^{m}\Pr(A_i)\right)$$
Схема Гарантия и независимый частный случай
00.070.06Граница0.0589Независим.

Для рисков 0,02;0,03;0,01: общий верхний предел 0,06, при независимости точное значение 0,058906.

Обозначения

$A_i$
i-е событие в одном вероятностном пространстве
$m$
конечное число рассматриваемых событий, шт.
$Pr(A_i)$
вероятность отдельного события, доля
$∪A_i$
событие наступления хотя бы одного A_i

Условия применения

Все события определены в одном вероятностном пространстве. Для конечного семейства достаточно знать их вероятности или верхние оценки. Независимость не требуется. Правую часть можно ограничить единицей, поскольку любая вероятность не превосходит 1.

Ограничения

Сумма может быть намного больше истинной вероятности при сильном перекрытии событий. Даже при независимости результат остаётся только оценкой сверху. В контроле нескольких тестов это гарантия семейной ошибки по уровню каждого теста, а не автоматическое доказательство корректности самих индивидуальных уровней.

Подробное объяснение

Индикатор объединения равен 1, если произошло хотя бы одно событие. Сумма отдельных индикаторов в этом случае не меньше 1; если ни одного события нет, обе стороны нулевые. Значит, индикатор объединения поточечно не превосходит суммы индикаторов. Взяв ожидание, получаем неравенство вероятностей.

Пересечения учитываются в сумме несколько раз, поэтому она может завышать вероятность. Для несовместимых событий каждый исход принадлежит не более чем одному A_i, и сумма становится точной. В общем случае для уточнения нужны сведения о пересечениях, как в формуле включений и исключений.

Рассмотрим три риска 0,02;0,03;0,01. Вероятность хотя бы одного не превосходит 0,06 независимо от характера зависимости. Если все три события на самом деле совпадают, информация об их отдельных вероятностях должна быть совместима с этим совпадением; складывание всё равно остаётся верхней оценкой, а не способом восстановить зависимость.

Для m проверок с индивидуальными уровнями не более α/m сумма уровней не превосходитα. Так получают поправку Бонферрони для семейной ошибки. Событиями являются ложные отклонения истинных нулевых гипотез, а не просто любые положительные результаты тестов.

Когда сумма больше единицы, она остаётся математической верхней границей, но не даёт полезной информации. Минимум с 1 делает вероятностный диапазон явным. Для существенно пересекающихся событий более точная модель может дать меньший риск, но её дополнительные предположения нужно проверять.

Как пользоваться формулой

  1. Определите события, объединение которых означает нежелательный общий исход, и проверьте смысл каждой отдельной вероятности.
  2. Соберите вероятности или гарантированные верхние оценки для всех событий, включая те проверки, где результат пока неизвестен.
  3. Сложите оценки и возьмите минимум суммы с единицей; независимость событий для этого вычисления предполагать не требуется.
  4. Запишите ответ как верхнюю границу и укажите, что неизвестные пересечения могут сделать истинную вероятность существенно меньше.

Историческая справка

Оценка объединения событий относится к базовым вероятностным неравенствам и известна как граница Буля. В системе неравенств Бонферрони она соответствует первому верхнему усечению формулы включений и исключений: учитываются одиночные события, а пересечения ещё не вычитаются.

В математической статистике та же логика лежит в основе поправки Бонферрони при множественных проверках. Современные курсы вероятностных алгоритмов применяют границу к объединению плохих событий, а статистические курсы — к семейной ошибке. Различие приложений не меняет доказательство через индикаторы. Название конкретной поправки важно отделять от предположений, обеспечивающих достоверный уровень каждой исходной проверки.

Историческая линия формулы

Названия Буля и Бонферрони отражают связанные традиции оценок объединения и последовательных усечений включений и исключений. Здесь используется только первая верхняя граница; она не требует независимости. Поправка уровней тестов является отдельным применением этого неравенства.

Пример

Три проверки могут дать ложное срабатывание с вероятностями не более 0,02;0,03;0,01. Требуется оценить риск хотя бы одной ложной тревоги без модели зависимости. Сумма 0,02+0,03+0,01=0,06, поэтому P(A₁∪A₂∪A₃)≤0,06. Ответ: не более 6%. Это гарантия, основанная только на индивидуальных ограничениях. Проверка на независимом частном случае: если вероятности равны указанным и события независимы, точный риск 1−(1−0,02)(1−0,03)(1−0,01)=1−0,98·0,97·0,99=0,058906. Он меньше 0,06, как и требует оценка. Равенство суммы возникает для несовместимых событий; независимость сама по себе не делает сумму точной.

Частая ошибка

Не требуйте независимости для применения границы объединения. Не выдавайте сумму за точную вероятность при неизвестных пересечениях. Не забывайте ограничить итог единицей для практического ответа. Не путайте семейную ошибку хотя бы одного ложного отклонения с долей ложных открытий среди отклонённых гипотез.

Практика

Задачи с решением

Десять проверок

Условие. Каждая из десяти проверок имеет вероятность ложной тревоги не более 0,005. Ограничьте вероятность хотя бы одной.

Решение. Сумма десяти границ 10·0,005=0,05. Независимость не требуется.

Ответ. Не более 0,05.

Неполезная сумма

Условие. Для трёх событий известны вероятности 0,5;0,6;0,4. Какова граница?

Решение. Сумма 1,5 превышает 1. Используем минимум(1;1,5)=1.

Ответ. Не более 1; оценка без информации о пересечениях неинформативна.

Дополнительные источники

  • https://probabilitycomputing.github.io/CMU%20Lecture%20Notes.pdf
  • https://www.stat.berkeley.edu/~stark/Teach/S240/Notes/ch3.pdf

Связанные формулы

Математика

Формула включений и исключений для двух множеств

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Формула включений и исключений для двух множеств считает размер объединения A и B: складывает мощности множеств и один раз вычитает их пересечение. Она нужна, когда объект может иметь оба признака сразу, поэтому простая сумма дает двойной счет.

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Граница Чернова для верхнего хвоста биномиальной суммы

$\Pr(X\ge(1+\delta)\mu)\le\exp\!\left(-\frac{\mu\delta^2}{2+\delta}\right),\quad\delta>0$

Граница Чернова даёт экспоненциальную верхнюю оценку вероятности большого превышения среднего у суммы независимых индикаторов. Она ограничивает хвост, а не вычисляет его точное значение.