Физика / Молекулярная физика
Число Фурье для нестационарной теплопроводности
Число Фурье сравнивает прошедшее время с характерным временем тепловой диффузии L²/a. Оно используется вместе с геометрией и граничными условиями при расчёте нагрева и охлаждения.
Формула
a = 10⁻⁵ м²/с, L = 0,050 м. Число Фурье пропорционально времени.
Обозначения
- $Fo$
- число Фурье, 1
- $a$
- температуропроводность материала, м²/с
- $t$
- время после изменения условий, с
- $L$
- характерная длина согласно выбранному решению, м
Условия применения
Материал описывают уравнением теплопроводности с постоянной температуропроводностью. Длину L выбирают по используемому решению: например, половину толщины симметричной пластины или радиус цилиндра. Во всех сравниваемых случаях сохраняют одинаковое определение размера.
Ограничения
Равенство Fo для разных тел не гарантирует одинаковых температур без совпадения формы, начальных условий и граничных критериев, включая Bi. Большое Fo не задаёт универсального порога полного равновесия. При фазовых переходах или сильно переменных свойствах требуется более подробная модель.
Подробное объяснение
В уравнении ∂T/∂t = a∇²T производная по времени имеет масштаб 1/t, а вторая производная по координате — 1/L². Их сравнение приводит к безразмерному времени at/L². Таким образом, число Фурье отражает, насколько долго теплопроводность действовала относительно размера задачи.
При одинаковом a удвоение размера требует в четыре раза большего времени для того же Fo. Это характерное свойство диффузии: глубина распространения температурных изменений растёт примерно как √(at), а не прямо пропорционально времени. Поэтому крупные детали выравнивают температуру существенно медленнее малых.
Однако температура зависит и от того, как поверхность обменивается теплотой со средой. При слабой теплоотдаче тело может оставаться почти равномерным и остывать медленно; при сильной возникают заметные градиенты. Эту сторону описывает число Био. Fo и Bi отвечают на разные вопросы и обычно входят в решение вместе.
Число Фурье не является преобразованием Фурье. Оба термина связаны с историей теории теплопроводности, но критерий Fo — простое безразмерное отношение, тогда как преобразование является математическим инструментом представления функций.
Как пользоваться формулой
- Уточните геометрию и определение L в выбранной модели или таблице.
- Возьмите температуропроводность a в м²/с и время в секундах.
- Возведите L в квадрат, вычислите at/L² и запишите результат без единиц.
- Для поиска времени используйте t = FoL²/a.
- При сравнении температур сверяйте также число Био, начальные условия и форму тела.
Историческая справка
Безразмерное время Фурье связано с математической теорией распространения теплоты. Уравнение теплопроводности показало квадратичную связь характерного размера и времени, что позволило сравнивать процессы в образцах разных размеров без отдельного решения для каждого набора единиц.
При развитии инженерных методов появились таблицы и диаграммы нестационарного нагрева, где температура выражается через безразмерные координаты, время и параметры границы. Число Фурье стало удобной осью таких представлений. Его название напоминает о вкладе Жозефа Фурье в теорию теплопроводности, но само отношение at/L² следует также из анализа размерностей уравнения. Современное использование сохраняет требование явно задавать характерный размер и не отрывать критерий от граничной задачи.
Историческая линия формулы
Критерий назван в честь Жозефа Фурье и связан с масштабированием уравнения теплопроводности. Это безразмерная переменная времени, а не независимый закон температурного равновесия; конкретное значение температуры определяется решением задачи с её геометрией и границами.
Пример
Для модели задано a = 1,0 · 10⁻⁵ м²/с, L = 0,050 м и время t = 100 с. Квадрат длины L² = 0,0025 м², произведение at = 0,001 м². Следовательно, Fo = 0,001/0,0025 = 0,40. Если увеличить размер до 0,100 м при прежнем материале, для того же Fo потребуется t = 0,40 · 0,100²/10⁻⁵ = 400 с. Время возросло в четыре раза. Ответ не означает, что при Fo = 0,40 центр уже достиг температуры среды: для этого нужны условия поверхности и решение температурного поля. Расчёт устанавливает только одинаковый безразмерный момент двух геометрически подобных процессов.
Частая ошибка
Линейный размер обязательно возводят в квадрат. Нельзя использовать полную толщину вместо половины, если диаграмма определена для половины: Fo изменится в четыре раза. Температуропроводность в мм²/с требует согласования с длиной. По одному Fo без условий поверхности нельзя объявить тело полностью прогретым.
Практика
Задачи с решением
Длинный прогрев
Условие. a = 2 · 10⁻⁶ м²/с, t = 500 с, L = 0,020 м. Найдите Fo.
Решение. Fo = 2 · 10⁻⁶ · 500/0,020² = 0,001/0,0004 = 2,5.
Ответ. Fo = 2,5.
Время по критерию
Условие. Нужно Fo = 0,20 при L = 0,010 м и a = 10⁻⁶ м²/с. Найдите t.
Решение. t = 0,20 · 0,010²/10⁻⁶ = 20 с.
Ответ. 20 с.
Дополнительные источники
- https://ocw.mit.edu/courses/16-050-thermal-energy-fall-2002/87d9f4544b7fd64a77201382500d057c_10_part3.pdf
- https://ocw.mit.edu/courses/2-51-intermediate-heat-and-mass-transfer-fall-2008/pages/readings/
Связанные формулы
Физика
Температуропроводность вещества
Температуропроводность a характеризует скорость выравнивания температуры теплопроводностью. Она равна отношению теплопроводности λ к объёмной теплоёмкости ρc и измеряется в м²/с.
Физика
Число Био и равномерность температуры тела
Число Био сравнивает сопротивление теплопроводности внутри тела с сопротивлением теплоотдачи на его поверхности. Малое Bi позволяет приближённо считать температуру тела одинаковой по объёму.
Инженерия
Закон Фурье для теплопроводности
Закон Фурье для теплопроводности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.