Физика / Механика сплошных сред

Вязкость Карро—Ясуды при широком диапазоне скоростей

Закон Карро—Ясуды описывает плавный переход между низко- и высокоскоростными вязкостными плато. Скорость перехода задаёт λ, а параметры n и a управляют наклоном и формой кривой.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\mu=\mu_\infty+(\mu_0-\mu_\infty)\left[1+(\lambda\dot\gamma)^a\right]^{(n-1)/a}

Схема Переход от низкоскоростного плато

μ₀=5,μ∞=0,1 Па·с,λ=1 с,a=2,n=0,5. Вязкость остаётся между заданными плато.

Обозначения

$μ,μ₀,μ∞$: текущая, низко- и высокоскоростная вязкости, Па·с
$λ$: временной параметр масштаба перехода, с
$γ̇$: положительная скорость сдвига, с⁻¹
$a$: положительный параметр формы перехода, безразмерно
$n$: индекс высокоскоростной степенной области, безразмерно

Условия применения

Для типичной разжижающейся жидкости задают μ₀≥μ∞≥0, λ>0,a>0,0<n<1 при фиксированной температуре. Произведение λγ̇ безразмерно. Рассматривается установившаяся зависимость вязкости от скорости сдвига, а не модель упругой памяти.

Ограничения

Параметр λ в этой формуле не следует автоматически считать единственным релаксационным временем вязкоупругого материала. Модель не содержит предела текучести и тиксотропной эволюции. Несогласованная экстраполяция параметров по температуре может нарушить соответствие эксперименту.

Подробное объяснение

Карро—Ясуда имеет два предела вязкости. При λγ̇ намного меньше единицы μ приближается к μ₀; при большом аргументе появляется степенной переход к μ∞. Параметр 1/λ задаёт характерную скорость сдвига, a меняет резкость, n — наклон.

Размерность проверяется через λγ̇: секунды умножаются на обратные секунды. Это отличает модель от простой степенной формулы, где плато отсутствуют.

Вязкость должна оставаться между μ₀ и μ∞ при разжижающемся режиме. Модель эмпирическая и требует параметров из одной температурной серии.

Она полезна для широкого диапазона сдвига, но не заменяет температурно-временную суперпозицию полимеров.

При μ₀=μ∞ выражение вырождается в постоянную вязкость. В лабораторном отчёте полезно построить график напряжения против скорости сдвига и отметить точки, по которым определялись параметры. Наклон или кривизна графика несут физическую информацию: их нельзя сгладить заранее так, чтобы исчезли переходные режимы. При сравнении двух материалов одинаковая скорость сдвига не гарантирует одинаковую микроструктуру, поэтому сравнение проводят только при одинаковой температуре и истории предварительного перемешивания.

Как пользоваться формулой

Проверьте порядок плато μ₀≥μ∞ и единицы коэффициентов; выпишите λ,a,n для той же температуры и реометрической калибровки.
Сначала найдите безразмерное λγ̇, затем возведите его в степень a и прибавьте единицу до следующего степенного шага.
Вычислите степень(n−1)/a, умножьте результат на μ₀−μ∞ и только после этого прибавьте высокоскоростное плато μ∞.
Проверьте пределы γ̇→0 и больших γ̇: в разжижающемся случае вязкость должна лежать между μ∞ и μ₀.

Историческая справка

Модели семейства Карро появились в реологии как способ объединить почти ньютоновское плато при малой скорости и степенное разжижение на промежуточном участке. Параметр формы в варианте Ясуды позволяет отдельно настраивать ширину перехода, не меняя только конечные значения вязкости.

В современных вычислительных руководствах Carreau и Carreau–Yasuda выделяются отдельно от простого Power Law. Документация COMSOL объясняет их назначение при существенном отклонении от степенного закона на очень малых и очень больших скоростях. Такое развитие подчёркивает эмпирическую природу выбора: более гибкая кривая полезна при подтверждённых плато, но дополнительные коэффициенты требуют данных для идентификации и не превращают модель в универсальную теорию материала.

Историческая линия формулы

Название Карро—Ясуды относится к семейству реологических аппроксимаций с плавным переходом между плато. Здесь приведена распространённая форма с параметром a; при a=2 получается стандартная запись Карро. Источник используется для разграничения моделей, а не для необоснованной датировки каждого коэффициента.

Пример

Пусть μ₀=5 Па·с, μ∞=0,1 Па·с, λ=1 с,a=2,n=0,5. Выберем γ̇=√15 с⁻¹≈3,87298 с⁻¹. Тогда 1+(λγ̇)²=16, а показатель(n−1)/a=−1/4. Степенной множитель 16^(−1/4)=1/2. Получаем μ=0,1+(5−0,1)/2=2,55 Па·с. Ответ находится между 0,1 и 5 Па·с, как и требуется для разжижающегося режима. Проверка низкой скорости: при γ̇=0 скобка равна 1 и μ=5 Па·с. При γ̇→∞ отрицательная степень стремится к нулю, остаётся 0,1 Па·с. Поэтому конечные плато сохраняются, в отличие от простой степени Kγ̇^(n−1). Умножение λ на скорость даёт безразмерный аргумент и допускает дробную степень.

Частая ошибка

Не возводите размерную γ̇ в степень a без λ, если используете данную нормировку. Не меняйте порядок прибавления μ∞ и умножения на разность плато. Не приписывайте модели предел текучести. Не объявляйте λ доказанным релаксационным временем только из-за его единицы секунды.

Практика

Задачи с решением

Нулевой сдвиг

Условие. Для μ₀=5,μ∞=0,1 Па·с,λ=1 с,a=2,n=0,5 найдите вязкость при γ̇=0.

Решение. Скобка 1, степень 1. μ=0,1+4,9=5 Па·с.

Ответ. 5 Па·с.

Другая скорость

Условие. Для тех же параметров γ̇=√80 с⁻¹. Найдите вязкость.

Решение. Скобка 81,81^(−1/4)=1/3. μ=0,1+4,9/3≈1,73333333 Па·с.

Ответ. Около 1,73333 Па·с.

Дополнительные источники

https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.polymer/polymer_ug_modeling.05.02.html
https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.mfl/MicrofluidicsModuleUsersGuide.pdf

Связанные формулы

Физика

Кажущаяся вязкость степенной жидкости

$\mu_{\mathrm{app}}=\frac{\tau}{\dot\gamma}=K\dot\gamma^{\,n-1},\qquad\tau=K\dot\gamma^{\,n}$

В степенной жидкости кажущаяся вязкость зависит от скорости сдвига. При индексе n<1 она уменьшается, при n>1 растёт, а при n=1 становится постоянной ньютоновской вязкостью.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Инженерия

Число Шмидта: вязкость и диффузия компонента

$\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D}=\frac{\mu}{\rho D}$

Число Шмидта сравнивает молекулярную диффузию импульса и выбранного компонента смеси. Оно зависит от свойств среды и пары веществ, а не от скорости или длины потока при неизменном состоянии.