Физика / Механика сплошных сред

Кажущаяся вязкость степенной жидкости

В степенной жидкости кажущаяся вязкость зависит от скорости сдвига. При индексе n<1 она уменьшается, при n>1 растёт, а при n=1 становится постоянной ньютоновской вязкостью.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\mu_{\mathrm{app}}=\frac{\tau}{\dot\gamma}=K\dot\gamma^{\,n-1},\qquad\tau=K\dot\gamma^{\,n}

Схема Вязкость уменьшается при ускорении сдвига

K=0,60 Па·с^0,5,n=0,5. Показаны положительные скорости от 1 до 100 с⁻¹, нулевая скорость исключена.

Обозначения

$μ_app$: отношение напряжения к скорости сдвига, Па·с
$K$: коэффициент консистенции, Па·сⁿ
$n$: индекс степенного течения, безразмерно
$γ̇$: положительная скорость сдвига, с⁻¹
$τ$: касательное напряжение, Па

Условия применения

Задан степенной закон без предела текучести, для положительных установившихся скоростей сдвига. Параметры K>0,n>0 постоянны в рассматриваемом диапазоне при фиксированной температуре. Здесь γ̇ — скорость деформации, а не линейная скорость потока в метрах в секунду.

Ограничения

При n<1 простая модель даёт бесконечную вязкость при γ̇→0, а при больших скоростях может неверно стремиться к нулю. Поэтому её используют на ограниченном интервале. Для материалов с двумя вязкостными плато применяют другие законы, например Карро—Ясуды.

Подробное объяснение

Кажущаяся вязкость — отношение напряжения к скорости сдвига. Подстановка τ=Kγ̇ⁿ даёт μ_app=Kγ̇ⁿ/γ̇=Kγ̇^(n−1). Поэтому показатель n−1 сразу показывает тренд.

При n=1 показатель исчезает и вязкость равна K. При n<1 рост γ̇ уменьшает μ_app; при n>1 рост увеличивает её.

Единицы K должны компенсировать степень: K·(с⁻¹)^(n−1) даёт Па·с. Нельзя сравнивать значения K разных моделей без учёта n.

В инженерной таблице μ_app относится к выбранной точке режима, а не ко всей трубе. Смена профиля сдвига создаёт разные локальные значения.

Модель полезна для первичной оценки мощности насоса и числа Рейнольдса, но окончательный расчёт требует закона течения и геометрии. В лабораторном отчёте полезно построить график напряжения против скорости сдвига и отметить точки, по которым определялись параметры. Наклон или кривизна графика несут физическую информацию: их нельзя сгладить заранее так, чтобы исчезли переходные режимы. При сравнении двух материалов одинаковая скорость сдвига не гарантирует одинаковую микроструктуру, поэтому сравнение проводят только при одинаковой температуре и истории предварительного перемешивания.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что реологический закон не содержит предела текучести, и выпишите K,n вместе с диапазоном измеренных скоростей сдвига.
Переведите γ̇ в с⁻¹ и возведите её в степень n−1; учитывайте, что при n<1 показатель отрицательный.
Умножьте на K, получив Па·с, и отдельно при необходимости найдите напряжение τ=μ_appγ̇.
Для сравнения режимов используйте отношение вязкостей(γ̇₂/γ̇₁)^(n−1); не считайте снижение вязкости снижением самого напряжения.

Историческая справка

Степенная аппроксимация стала одним из простых способов описать реометрические кривые, не проходящие как прямая через начало в координатах τ и γ̇. В логарифмических координатах она превращает измерения в линейную зависимость с наклоном n, что удобно для определения коэффициентов.

Современные руководства по неньютоновским жидкостям сохраняют этот закон как ограниченную модель сдвигового разжижения или загущения. Официальная документация COMSOL различает Power Law и модели с низко- и высокоскоростными плато. В программной записи могут вводиться опорная и минимальная скорости, поэтому современное численное использование требует проверки нормировки: одинаковая буква коэффициента не гарантирует одинаковую физическую размерность.

Историческая линия формулы

Степенная модель относится к классическим эмпирическим законам реологии. Здесь используется размерная форма τ=Kγ̇ⁿ и её алгебраическое следствие для кажущейся вязкости. Источники по программной реализации подтверждают необходимость отличать её от нормированного коэффициента с единицами Па·с.

Пример

Степенная жидкость имеет K=0,60 Па·с^0,5 и n=0,5. При γ̇=25 с⁻¹ кажущаяся вязкость μ_app=0,60·25^(−0,5)=0,60/5=0,12 Па·с. Напряжение равно 0,12·25=3 Па. При скорости 100 с⁻¹ вязкость 0,60/10=0,06 Па·с, а напряжение 0,06·100=6 Па. Ответ: вязкость уменьшилась вдвое, но напряжение удвоилось. Проверка отношений: скорость выросла в 4 раза, поэтому μ₂/μ₁=4^(−0,5)=1/2, τ₂/τ₁=4^0,5=2. Единицы Kγ̇^(n−1) дают(Па·с^n)·с^(1−n)=Па·с. Это показывает, почему уменьшение кажущейся вязкости нельзя понимать как уменьшение усилия при более быстром сдвиге.

Частая ошибка

Не путайте скорость сдвига с расходом или скоростью в канале. Не используйте показатель n вместо n−1 для вязкости. Не называйте μ_app константой материала без указания γ̇. Не переносите простую степень к нулевой скорости, если реальная жидкость имеет конечное низкоскоростное плато.

Практика

Задачи с решением

Вязкость

Условие. K=0,60 Па·с^0,5,n=0,5,γ̇=100 с⁻¹. Найдите μ_app.

Решение. μ_app=0,60·100^(−0,5)=0,60/10=0,06 Па·с.

Ответ. 0,06 Па·с.

Ньютоновский предел

Условие. n=1,K=0,8 Па·с. Найдите μ_app при γ̇=5 и 50 с⁻¹.

Решение. Показатель n−1=0, поэтому μ_app=K в обоих режимах.

Ответ. 0,8 Па·с в обоих случаях.

Дополнительные источники

https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.polymer/polymer_ug_modeling.05.02.html
https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.mfl/MicrofluidicsModuleUsersGuide.pdf

Связанные формулы

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Физика

Модель Гершеля—Балкли для нелинейного течения

$\tau=\tau_y+K\dot\gamma^{\,n},\qquad\dot\gamma>0$

Модель Гершеля—Балкли добавляет предел текучести к степенному закону сдвига. Индекс n описывает нелинейный рост напряжения, а коэффициент K имеет размерность, зависящую от n.

Физика

Закон Пуазёйля для ламинарного течения

$Q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L}$

Объёмный расход вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубке при ламинарном течении равен πr⁴Δp/(8ηL). Четвёртая степень радиуса делает расход особенно чувствительным к диаметру.