Физика / Механика сплошных сред

Модель Гершеля—Балкли для нелинейного течения

Модель Гершеля—Балкли добавляет предел текучести к степенному закону сдвига. Индекс n описывает нелинейный рост напряжения, а коэффициент K имеет размерность, зависящую от n.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\tau=\tau_y+K\dot\gamma^{\,n},\qquad\dot\gamma>0

Схема Нелинейный остаток над порогом

τ_y=10 Па,K=0,50 Па·с^0,5,n=0,5. При γ̇=256 с⁻¹ напряжение 18 Па.

Обозначения

$τ,τ_y$: напряжение сдвига и предел текучести, Па
$K$: коэффициент консистенции, Па·сⁿ
$n$: положительный индекс течения, безразмерно
$γ̇$: положительная скорость сдвига, с⁻¹

Условия применения

Рассматривается положительная текущая ветвь однородного установившегося сдвига с τ>τ_y. Параметры K>0,n>0,τ_y≥0 определены при фиксированной температуре в заданном диапазоне скоростей. Идеальная модель отдельно задаёт область покоя ниже порога.

Ограничения

Эмпирический закон не описывает тиксотропную память и упругий возврат без дополнительных переменных. Экстраполяция за диапазон измерений может быть неверной. Численный вариант с регуляризацией и нормировочной скоростью требует согласования коэффициентов с данной размерной записью Kγ̇ⁿ.

Подробное объяснение

После порога текучести напряжение растёт как степень скорости сдвига. При n=1 получаем линейную бингамовскую ветвь, при n<1 материал разжижается, а при n>1 загущается. Коэффициент K имеет зависимую от n размерность, что часто теряется в таблицах.

Для расчёта скорости сдвига сначала вычитают τᵧ, затем решают γ̇=((τ−τᵧ)/K)^(1/n). Это не то же самое, что возведение всего τ в степень: порог должен быть удалён до степенного преобразования.

На логарифмическом графике остаток τ−τᵧ против γ̇ имеет наклон n. Поэтому параметры можно проверить двумя точками, но для надёжной идентификации нужны несколько режимов.

Модель локальна: она сообщает связь напряжения и скорости сдвига, но не учитывает поле давления и стеночные эффекты. Для расхода в канале закон нужно встроить в уравнение движения.

При n<1 увеличение скорости даёт непропорционально малое увеличение остаточного напряжения; это объясняет стабилизацию сопротивления у некоторых паст при перемешивании.

Как пользоваться формулой

Проверьте положительное превышение τ−τ_y и используйте K,n,τ_y, измеренные при одной температуре и в согласованном диапазоне.
Вычтите предел текучести из напряжения, затем разделите остаток на K; не возводите полное τ в обратную степень.
При поиске скорости вычислите γ̇=[(τ−τ_y)/K]^(1/n), сохраняя размерность K=Па·сⁿ и точное значение n.
Подставьте ответ в исходный закон и проверьте предельный случай n=1, который возвращает линейную бингамовскую ветвь.

Историческая справка

Модель носит совместное имя Гершеля и Балкли и объединяет пороговую и степенную зависимость в одной эмпирической кривой. Нельзя распределять её члены по именам авторов так, будто один отдельно ввёл порог, а другой — степень: двойное название относится к совместной модели.

В современной инженерной реологии закон применяют для нелинейных вязкопластических материалов. Документация COMSOL описывает регуляризованный вариант Гершеля—Балкли—Папанастасиу, подчёркивая связь с предельным напряжением и степенным течением. Такая программная версия добавляет численные параметры, поэтому история развития модели помогает различать физическую аппроксимацию измерений и способ её устойчивого внедрения в расчёт.

Историческая линия формулы

Совместное название Гершеля—Балкли относится к эмпирической модели с пределом текучести и индексом течения. Папанастасиу в названии программного варианта указывает на регуляризацию. В данной статье не приписываются отдельные слагаемые разным авторам и явно оговорена используемая размерная форма.

Пример

Пусть τ_y=10 Па, K=0,50 Па·с^0,5, n=0,5, τ=18 Па. После вычитания порога остаётся 8 Па. Делим на K:8/0,50=16 с^(−0,5), а затем возводим в степень 1/n=2. Получаем γ̇=16²=256 с⁻¹. Ответ:256 с⁻¹. Проверка:10+0,50·√256=10+8=18 Па. Единицы(Па/(Па·с^0,5))²=с⁻¹ подтверждают обратную скорость времени. Если остаток напряжения увеличить вдвое до 16 Па при том же n, скорость станет(16/0,50)²=1024 с⁻¹, то есть возрастёт вчетверо. Это следствие обратной степени, а не линейная чувствительность. Порог вычитается до преобразования, поэтому удвоение общего напряжения не даёт того же соотношения.

Частая ошибка

Не ставьте τ вместо τ−τ_y в обратную формулу. Не считайте K всегда имеющим единицу Па·с: при n≠1 единица Па·сⁿ. Не путайте степень n в прямом законе со степенью 1/n в обратном. Не переносите параметры сглаженного программного закона в идеальную запись без проверки нормировки.

Практика

Задачи с решением

Разжижающийся материал

Условие. τᵧ=6 Па, K=0,25 Па·с⁰·⁶, n=0,6, τ=10 Па. Найдите γ̇.

Решение. γ̇=(4/0,25)^(1/0,6)=16^1,6667≈101,6 с⁻¹.

Ответ. ≈102 с⁻¹.

Проверка вперёд

Условие. K=0,40, n=0,5, γ̇=25 с⁻¹, τᵧ=5 Па. Найдите τ.

Решение. τ=5+0,40·25^0,5=5+2=7 Па.

Ответ. 7 Па.

Дополнительные источники

https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.polymer/polymer_ug_modeling.05.02.html
https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.mfl/MicrofluidicsModuleUsersGuide.pdf

Связанные формулы

Физика

Бингамовская жидкость: напряжение и скорость сдвига

$\tau=\tau_y+\mu_p\dot\gamma,\qquad\dot\gamma>0;\quad |\tau|\le\tau_y\Rightarrow \dot\gamma=0$

Идеальная бингамовская модель сочетает предел текучести и линейное течение после его превышения. Ниже порога материал не сдвигается, а после запуска наклон кривой задаёт пластическая вязкость.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Физика

Закон Пуазёйля для ламинарного течения

$Q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L}$

Объёмный расход вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубке при ламинарном течении равен πr⁴Δp/(8ηL). Четвёртая степень радиуса делает расход особенно чувствительным к диаметру.