Все формулы РФ

Физика / Механика сплошных сред

Бингамовская жидкость: напряжение и скорость сдвига

Идеальная бингамовская модель сочетает предел текучести и линейное течение после его превышения. Ниже порога материал не сдвигается, а после запуска наклон кривой задаёт пластическая вязкость.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\tau=\tau_y+\mu_p\dot\gamma,\qquad\dot\gamma>0;\quad |\tau|\le\tau_y\Rightarrow \dot\gamma=0$$
Схема Линейная ветвь после порога
0100065Напряжение, ПаСкорость сдвига, с⁻¹

Для τ_y=18 Па,μ_p=0,42 Па·с показана положительная текущая ветвь от скорости 0 до 100 с⁻¹; точка при 0 — предел ветви сверху.

Обозначения

$τ$
касательное напряжение, Па
$τ_y$
неотрицательный предел текучести, Па
$μ_p$
пластическая вязкость после запуска, Па·с
$γ̇$
скорость сдвига, с⁻¹

Условия применения

Рассматривается установившийся однородный простой сдвиг при фиксированной температуре и положительном направлении течения. Параметры τ_y≥0, μ_p>0 считаются постоянными. Для обратного направления пороговый член меняет знак; в области |τ|≤τ_y идеальная модель задаёт γ̇=0.

Ограничения

Реальные материалы могут ползти до условного порога или менять структуру со временем, чего идеальная модель не отражает. Численные пакеты часто используют регуляризацию Папанастасиу с дополнительным параметром; её плавная кривая не тождественна жёсткой области покоя.

Подробное объяснение

Бингамовская запись состоит из порога и линейного наклона. Слагаемое τᵧ отвечает за разрушение внутренней структуры, а μₚγ̇ — за дополнительное напряжение при продолжающемся сдвиге. Поэтому нулевая скорость не означает нулевое напряжение: диапазон |τ|≤τᵧ является зоной покоя.

После запуска знак скорости сдвига должен совпадать со знаком превышения напряжения. Для обратного направления используют τ=−τᵧ+μₚγ̇ при γ̇<0, или компактную запись τ=τᵧ sign(γ̇)+μₚγ̇. Это важно в численной модели, где направление потока меняется.

Размерность проверяется сразу: Па·с умножить на с⁻¹ даёт Па. Если известны τ и τᵧ, скорость сдвига находят перестановкой γ̇=(τ−τᵧ)/μₚ, но только при τ>τᵧ.

Модель полезна как локальный реологический закон; сама по себе она не даёт расход в трубе. Для расхода нужны геометрия, граничные условия и решение уравнения движения с профилем напряжения.

Ньютоновская жидкость получается только при τᵧ=0. При большом τ вклад порога становится относительно мал, но около запуска он определяет весь ответ.

Как пользоваться формулой

  1. Установите знак и величину касательного напряжения, температуру и параметры τ_y,μ_p для того же образца и режима измерения.
  2. Сначала сравните |τ| с пределом текучести; если порог не превышен, идеальная модель задаёт нулевую скорость сдвига.
  3. На положительной текущей ветви вычислите γ̇=(τ−τ_y)/μ_p, вычитая порог до деления и сохраняя единицы Па и Па·с.
  4. Подставьте найденную скорость обратно в τ_y+μ_pγ̇ и отдельно отметьте, что расчёт не определяет расход без геометрии потока.

Историческая справка

Бингамовская модель относится к становлению реологии материалов, которые сочетают сопротивление запуску и течение после превышения порога. Имя Бингама связано с исследованиями пластичности и дисперсных систем; в современном учебном законе порог и вязкий наклон записываются как два разных параметра.

При переходе от идеальной модели к численному расчёту возникла необходимость сгладить разрыв между областью покоя и текущей ветвью. Документация COMSOL отдельно использует название Бингама—Папанастасиу и вводит параметры регуляризации. Поэтому важно различать исходную идеализацию, удобную для ручного расчёта, и конкретную программную реализацию: историческое имя модели не отменяет добавленных численных предположений.

Историческая линия формулы

Модель названа по Бингаму и описывает идеальное вязкопластическое течение. Регуляризация Папанастасиу является отдельным способом численного сглаживания. Здесь используется исходный пороговый закон, а официальная документация служит проверкой различия моделей и смысла коэффициентов.

Пример

Заданы τ_y=18 Па и μ_p=0,42 Па·с. При приложенном напряжении 39 Па найдём скорость положительного сдвига. Порог превышен, остаток напряжения 39−18=21 Па. Поэтому γ̇=21/0,42=50 с⁻¹. Ответ:50 с⁻¹. Проверка обратной подстановкой 18+0,42·50=39 Па возвращает исходное напряжение. Размерность Па/(Па·с)=с⁻¹ соответствует скорости деформации. Если при тех же параметрах напряжение повысить до 60 Па, остаток станет 42 Па, а скорость 100 с⁻¹. Удвоился именно остаток сверх порога, а не всё приложенное напряжение. При τ=10 Па использование линейной ветви дало бы отрицательное число, но физическое условие модели выбирает область покоя γ̇=0.

Частая ошибка

Не используйте линейную ветвь ниже порога: отрицательная вычисленная γ̇ не описывает запуск в обратную сторону при положительном напряжении. Не путайте пластическую вязкость μ_p с кажущейся τ/γ̇. Не принимайте идеальный порог за доказательство отсутствия медленной ползучести реального материала.

Практика

Задачи с решением

Порог не достигнут

Условие. τᵧ=25 Па, приложено τ=20 Па. Какова скорость сдвига в идеализированной модели?

Решение. 20 Па меньше 25 Па, поэтому линейная ветвь не включается; материал считается неподвижным.

Ответ. γ̇=0 с⁻¹ в модели покоя.

Текущая суспензия

Условие. τᵧ=12 Па, μₚ=0,30 Па·с, τ=27 Па. Найдите γ̇.

Решение. γ̇=(27−12)/0,30=15/0,30=50 с⁻¹.

Ответ. 50 с⁻¹.

Дополнительные источники

  • https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.polymer/polymer_ug_modeling.05.02.html
  • https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.mfl/MicrofluidicsModuleUsersGuide.pdf

Связанные формулы

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Физика

Закон Пуазёйля для ламинарного течения

$Q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L}$

Объёмный расход вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубке при ламинарном течении равен πr⁴Δp/(8ηL). Четвёртая степень радиуса делает расход особенно чувствительным к диаметру.