Аналитика / Статистические выводы

Точный критерий Фишера для таблицы 2×2

Точный критерий Фишера проверяет связь двух бинарных признаков в таблице 2×2 при условии фиксированных полей. Вероятность каждой допустимой таблицы задаёт гипергеометрическое распределение; здесь двусторонний p-value определён как сумма вероятностей таблиц, не превосходящих вероятность наблюдаемой таблицы.

Опубликовано: 8 ноября 2026 г.Обновлено: 8 ноября 2026 г.

Формула

h(a)=\frac{\binom{c_1}{a}\binom{N-c_1}{r_1-a}}{\binom{N}{r_1}},\quad p_{\mathrm{2s}}=\sum_{a:\,h(a)\le h(a_{\mathrm{набл.}})}h(a)

Схема Двусторонняя сумма по вероятностям таблиц

Поля таблицы [[3,1],[1,5]] фиксированы. Красные столбцы имеют гипергеометрическую вероятность не выше наблюдаемой массы при a=3; их сумма p=0,19048.

Обозначения

$a,b,c,d$: наблюдённые целые частоты в таблице [[a,b],[c,d]], целые неотрицательные числа
$r₁=a+b$: итог первой строки, число наблюдений
$c₁=a+c$: итог первого столбца, число наблюдений
$N=a+b+c+d$: общее число наблюдений; поля строки и столбца фиксируются при условном расчёте, число наблюдений
$A$: случайная частота верхней левой клетки при фиксированных полях, целое число в допустимом диапазоне
$h(a)$: гипергеометрическая вероятность таблицы, у которой верхняя левая клетка равна a, безразмерная вероятность
$p₂s$: двустороннее p-value вероятностного упорядочения: сумма h(a) не больше h(aнабл.), безразмерная вероятность

Условия применения

Наблюдения между группами независимы; внутри каждой группы исход относится ровно к одной из двух взаимоисключающих категорий. Таблица содержит счётчики, а не проценты. Условный нулевой расчёт фиксирует наблюдённые поля; для 2×2 вероятность A задаётся гипергеометрическим распределением. Нужно заранее определить, что означает двустороннее «не менее экстремально»: эта статья использует включительное вероятностное упорядочение таблиц.

Ограничения

Условие фиксированных полей относится к распределению, по которому рассчитывают p-value, и не означает, что каждое поле обязательно было зафиксировано дизайном исследования. При одностороннем вопросе используют соответствующий хвост. Двусторонние определения Fisher могут отличаться; удвоение меньшего хвоста не всегда совпадает с суммой таблиц с вероятностью не выше наблюдаемой. Для больших таблиц точное перечисление может быть вычислительно тяжёлым. Статистическая связь сама по себе не доказывает причинность.

Подробное объяснение

Для независимых групп результат сводят к четырём частотам: a и b в первой строке, c и d во второй. При фиксированных полях знание одной клетки определяет остальные три. Поэтому распределение A — числа объектов первого столбца в первой строке — гипергеометрическое: из общего N объектов c₁ имеют первый исход, а r₁ мест приходится на первую строку.

Вероятность таблицы с верхней левой частотой a равна h(a)=C(c₁,a)C(N−c₁,r₁−a)/C(N,r₁). Допустимый диапазон ограничен тем, чтобы все четыре клетки оставались неотрицательными: max(0,r₁−(N−c₁))≤a≤min(r₁,c₁). Наблюдаемая таблица — только одна точка этого конечного распределения.

В этой статье двусторонний p-value использует вероятностное упорядочение: складываются вероятности всех допустимых таблиц с h(a)≤h(aнабл.). Равенство включается, чтобы одинаково вероятные исходы не зависели от порядка перечисления. Это правило не тождественно универсальному «удвоить меньший хвост»; при чтении результата следует проверять определение конкретного программного пакета.

Критерий называется точным, потому что вычисляет условные вероятности из дискретного распределения, а не аппроксимирует их непрерывным χ²-законом. Но вывод остаётся условным на наблюдённых маргинальных итогах. В исследовании с независимыми группами важно проверить, уместно ли такое условное сравнение и как сформировались группы.

При нулевой гипотезе независимости шансовое отношение равно единице. Направление связи можно описать также отношением шансов ad/(bc), если знаменатель ненулевой, однако p-value не является мерой силы эффекта. Для практического отчёта приводят таблицу, точный p-value, интервал или оценку эффекта и описание выборки.

Для больших чисел вычисление точного условного распределения остаётся математически определённым, но может потребовать много операций. При таблицах больше 2×2 задача и алгоритмы становятся сложнее. Для данной формулы рассматривается только таблица 2×2 и именно двусторонняя вероятность по вероятностному рангу.

Как пользоваться формулой

Заполните таблицу частот [[a,b],[c,d]] для двух независимых групп и бинарного исхода; проверьте, что каждая единица учтена ровно один раз.
Вычислите N, r₁=a+b и c₁=a+c; зафиксируйте, что для условного нулевого распределения используются именно наблюдённые поля.
Найдите допустимые целые значения A от max(0,r₁−(N−c₁)) до min(r₁,c₁), чтобы все клетки возможной таблицы были неотрицательны.
Для каждого A рассчитайте гипергеометрическую вероятность h(A)=C(c₁,A)C(N−c₁,r₁−A)/C(N,r₁).
Отметьте таблицы, чья вероятность не больше вероятности наблюдённой таблицы, включая равенство; сложите их вероятности.
Укажите, что использовано вероятностное упорядочение двустороннего p-value; сообщите также исходную таблицу и оценку эффекта.

Историческая справка

Рональд Фишер развивал точные расчёты вероятностей для таблиц сопряжённости в начале XX века. Его статья 1922 года On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P рассматривала вычисление вероятностей при ограничениях на табличные итоги. Позднее условный тест 2×2 закрепился под названием точного критерия Фишера; изложение гипотезы независимости и точного распределения вошло в его книгу The Design of Experiments (1935).

Исторически важен переход от крупновыборочного приближения к прямому перечислению возможных таблиц. При фиксированных полях вероятность одной таблицы выражается гипергеометрическим распределением, а p-value строится из наблюдаемого исхода и выбранного множества более экстремальных таблиц. Вручную это было удобно лишь для небольших таблиц, но компьютерные реализации расширили диапазон расчётов.

Современная запись метода требует уточнить два условия: какие итоги считаются фиксированными и как определено двустороннее отклонение. Например, R суммирует вероятности таблиц, не превышающие вероятность наблюдаемой таблицы. Такая точность относится к условной модели; она не устраняет проблемы дизайна, отбора или смешивающих факторов и не превращает ассоциацию в причинный вывод.

Историческая линия формулы

Критерий назван в честь Рональда Фишера и связан с его работами по точным вероятностям таблиц и вычислению P в 1920-х годах; современная реализация опирается на условное гипергеометрическое распределение. Равенство полей и правило двустороннего упорядочения являются частью конкретной процедуры, а не просто следствием фамилии.

Пример

В двух независимых группах сравнили бинарный результат. Таблица имеет вид: группа 1 — 3 успеха и 1 неуспех; группа 2 — 1 успех и 5 неуспехов. Значит, a=3,b=1,c=1,d=5, N=10, первый итог строки r₁=4, а итог первого столбца c₁=4. Возможны a=0,1,2,3,4. Знаменатель C(10,4)=210, а вероятности пропорциональны C(4,a)C(6,4−a): получаем 15/210, 80/210, 90/210, 24/210 и 1/210. Наблюдённая вероятность при a=3 равна 24/210=0,114286. Не больше неё вероятности при a=0,3,4, поэтому p=15/210+24/210+1/210=40/210=4/21≈0,190476. При α=0,05 нулевую гипотезу не отвергают. Проверка суммы: 40/210 — вероятность объединения именно отмеченных допустимых таблиц, а все пять масс дают 1. В отличие от удвоения меньшего хвоста, здесь экстремальность задана сравнением вероятностей таблиц.

Частая ошибка

Не применяйте гипергеометрическую формулу к процентам: нужны целые частоты. Не забывайте, что при фиксированных полях меняется одна клетка, а остальные определяются маргинальными итогами. Не называйте двусторонний результат единственным без определения экстремальности: здесь суммируются таблицы с вероятностью ≤ наблюдаемой. Не заменяйте это правило удвоенным меньшим хвостом автоматически. Наконец, не трактуйте p-value как вероятность независимости или как доказательство причинного влияния.

Практика

Задачи с решением

Две группы разного размера

Условие. В первой группе два успеха и ни одного неуспеха, во второй ноль успехов и три неуспеха. Найдите двустороннее p-значение.

Решение. При полях (2, 3) по строкам и столбцам для a=0, 1, 2 числители масс равны 3, 6, 1. Знаменатель C(5,2)=10. Только масса при a=2 не выше наблюдаемой.

Ответ. p=1/10=0,10.

Совершенное разделение исходов

Условие. Таблица двух независимых групп равна [[4,0],[0,4]]. Найдите вероятностно упорядоченный двусторонний p-value.

Решение. При полях 4,4 и 4,4 допустимы a=0,…,4; массы равны 1,16,36,16,1 делённые на 70. Наблюдаемая масса a=4 равна 1/70; не больше неё массы a=0 и a=4.

Ответ. p=2/70=1/35≈0,02857.

Дополнительные источники

https://itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section3/prc33.htm
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/fisher.test.html
https://doi.org/10.1111/j.2397-2335.1922.tb00768.x

Связанные формулы

Аналитика

Критерий хи-квадрат независимости

$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$

Критерий хи-квадрат независимости: формула \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} помогает величины chi, O, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности

$V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}}$

Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности: формула V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить силу связи в категориальной таблице. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Критерий χ² согласия: сравнение с распределением

$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i},\quad E_i=np_i$

Критерий χ² согласия сравнивает наблюдаемые частоты категорий с ожидаемыми частотами заданного вероятностного распределения. Статистика суммирует нормированные квадраты отклонений и оценивается по правому хвосту распределения χ².

Аналитика

Доверительный интервал для разности долей

$(p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

Доверительный интервал для разности долей: формула (p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить диапазон возможного uplift между группами. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.