Математика / Численное дифференцирование

Пятиточечный шаблон Лапласа на квадратной сетке

Пятиточечный шаблон приближает оператор Лапласа в внутреннем узле равномерной квадратной сетки. Он складывает центральные разности по двум направлениям и имеет погрешность порядка O(h²) для гладкой функции.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Формула

\Delta_hu_{i,j}=\frac{u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j}}{h^2}

Схема Пятиточечный шаблон, h=0,5

Центр (1;2), функция u=x²+y². Соседи находятся на расстоянии h=0,5.

Обозначения

$u_ij$: значение u(x_i,y_j) в узле квадратной сетки, единицы функции u
$h$: общий шаг по x и y, единицы координат
$Delta_h u_ij$: разностное приближение Delta u в узле, единицы u, делённые на квадрат длины

Условия применения

Формула относится к внутреннему узлу равномерной квадратной сетки: h_x=h_y=h, а четыре соседа (i±1,j), (i,j±1) существуют. Для точности O(h²) функция должна иметь достаточную гладкость в окрестности узла, например непрерывные производные до четвёртого порядка. На границе применяют заданные условия или отдельную одностороннюю/фиктивно-узловую схему; при h_x≠h_y используют сумму двух центральных разностей с разными знаменателями.

Ограничения

Шаблон не равен точному Лапласиану при конечном h и на грубой сетке имеет направленную ошибку. Он не задаёт граничные условия сам по себе. Нельзя заменить h² на h_xh_y при неравных шагах: тогда нужны отдельные члены /h_x² и /h_y². Для разрывной функции или коэффициентов требуется согласовать интерфейсную схему.

Подробное объяснение

В одном измерении центральная вторая разность [u(x+h)−2u(x)+u(x−h)]/h² приближает u_xx. Пятиточечный шаблон складывает такую разность по x и такую же по y, поэтому центр получает коэффициент −4, а каждый сосед — +1.

Размерность служит быстрой проверкой: числитель измеряется как u, а деление на h² даёт размерность второй производной. Для u=x²+y² схема возвращает 4 при любом h, потому что центральная разность точно воспроизводит вторую производную квадратичного многочлена.

Для гладкой функции разложение Тейлора показывает остаток порядка h². Уменьшение h вдвое поэтому обычно уменьшает дискретизационную ошибку примерно в четыре раза, пока её не начнут маскировать округления или ошибка решения линейной системы.

Внутри области у каждого узла есть четыре соседа, а на границе их может не быть. Именно граничные значения и связь со схемой превращают локальную формулу в задачу для большой разреженной матрицы.

Как пользоваться формулой

Выберите равномерную сетку и проверьте, что рассматриваемый узел не является граничным.
Запишите значения четырёх соседей и центра в одинаковых единицах функции u.
Сложите соседние значения, вычтите 4u_ij и разделите результат на h², сохраняя знак оператора Delta.
Для задачи Delta u=f подставьте это выражение в уравнение каждого внутреннего узла.
Отдельно задайте граничные значения и решите получившуюся разреженную систему.

Историческая справка

Оператор Лапласа назван по работам Пьера-Симона Лапласа конца XVIII века о потенциале. Центральные разности стали стандартным способом перенести дифференциальные операторы на сетку; в XX веке пятиточечная схема вошла в численные методы для эллиптических краевых задач. У этой конкретной записи нет одного автора: это сочетание центральных разностей и двумерного оператора Лапласа. Исторически важен переход от непрерывной модели к таблице значений в узлах: производная заменяется локальной разностью, а краевая задача — системой линейных уравнений. Развитие вычислительной техники сделало такие системы большими и разреженными, поэтому схема получила значение не только как ручная аппроксимация, но и как базовый объект итерационных решателей. Современные записи с индексами i,j подчёркивают этот сеточный, а не символически-дифференциальный смысл.

Историческая линия формулы

Имя Лапласа относится к непрерывному оператору, а не к одному автору пятиточечной дискретизации. Современная формула сформировалась в практике конечно-разностного решения краевых задач и должна атрибутироваться как стандартная схема, а не персональное открытие.

Пример

Для u(x,y)=x²+y² и h=0,5 в точке (1;2): значения соседей равны 6,25;4,25;7,25;3,25, а центр 5. Числитель 1, значит Δ_hu=1/0,25=4, что совпадает с Δu=4. В первом примере сумма соседей 21, а четыре значения центра дают 20; разность равна 1. После деления на 0,25 получается 4. Для u=x²+y² это точное число, потому что центральная разность второй производной x² равна 2 при любом h; по двум координатам получается 4. Пятиточечный шаблон складывает вторые центральные разности по x и y. Поэтому четыре соседних узла входят с плюсом, а центр — с коэффициентом −4; деление на h² возвращает размерность второй производной.

Частая ошибка

Не меняйте знак центрального коэффициента: для Delta_h он равен −4. Не применяйте эту запись к прямоугольной сетке с h_x≠h_y. Не подставляйте отсутствующего соседа на границе без граничного условия. Не выдавайте точность O(h²) за точность всего решения без учёта границы и линейного решателя.

Практика

Задачи с решением

Шаблон в заданном внутреннем узле

Условие. Для h=1 и соседей 9,5,8,6 при центре 7 вычислите Δ_hu.

Решение. Сумма соседей 28, 4u_ij=28; (28−28)/1²=0.

Ответ. Δ_hu=0.

Точная проверка на x²+y²

Условие. Проверьте u=x²+y² в (0;0) при h=2.

Решение. Во всех четырёх соседях u=4, числитель 16−0, знаменатель 4.

Ответ. Δ_hu=4.

Дополнительные источники

https://ocw.mit.edu/courses/18-303-linear-partial-differential-equations-analysis-and-numerics-fall-2014/2fa52d2bf4c8c893891760aa49ea82af_MIT18_303F14_Lecture11.pdf
https://www.dam.brown.edu/people/jguzman/documents/lecturenotes.pdf

Связанные формулы

Математика

Круги Гершгорина: локализация собственных значений матрицы

$|\lambda-a_{ii}|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$

Теорема Гершгорина заключает все собственные значения квадратной комплексной матрицы в объединение дисков: центр каждого диска — диагональный элемент строки, радиус — сумма модулей остальных элементов этой строки.

Математика

Степенной метод: приближение доминирующего собственного значения

$x_{k+1}=\frac{Ax_k}{\|Ax_k\|},\quad\lambda_k=\frac{x_k^TAx_k}{x_k^Tx_k}$

Степенной метод многократно умножает стартовый вектор на матрицу, поэтому компоненту по простому собственному вектору с наибольшим модулем усиливает быстрее остальных. Нормировка сохраняет направление и предотвращает переполнение.

Математика

Оценка ошибки пары Дормана—Принса 5(4)

$err=\left\|y_{n+1}^{(5)}-y_{n+1}^{(4)}\right\|$

Встроенная пара Дормана—Принса 5(4) из общих стадий даёт два приближения решения ОДУ. Норма их разности оценивает локальную ошибку и позволяет принять шаг или повторить расчёт с меньшим h.

Математика

Квадратичный штраф за нарушение равенства

$\Phi_\mu(x)=f(x)+\frac{\mu}{2}h(x)^2$

Квадратичный штраф заменяет равенство h(x)=0 добавкой mu h(x)^2/2 к цели. При конечном mu минимум штрафовой функции обычно остаётся немного недопустимым, поэтому метод использует последовательность растущих параметров.