Математика / Численное решение линейных систем

Круги Гершгорина: локализация собственных значений матрицы

Теорема Гершгорина заключает все собственные значения квадратной комплексной матрицы в объединение дисков: центр каждого диска — диагональный элемент строки, радиус — сумма модулей остальных элементов этой строки.

Опубликовано: 3 ноября 2026 г.Обновлено: 3 ноября 2026 г.

Численное решение линейных систем Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка Диагностика условий

Формула

|\lambda-a_{ii}|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}|

Схема Круги Гершгорина для [[4,1],[2,3]]

Единица масштаба равна 70 пикселям по обеим осям. Число 2 внутри большого круга, 5 на правой границе обоих.

Обозначения

$A=(a_ij)$: квадратная комплексная матрица порядка n, единицы линейного оператора
$lambda$: собственное значение A, единицы a_ij
$R_i$: сумма sum_(j!=i)|a_ij|, радиус i-го диска, единицы a_ij

Условия применения

Пусть A — комплексная квадратная матрица. Для каждой строки строят D_i={z in C: |z−a_ii|≤R_i}, где R_i=sum_(j!=i)|a_ij|. Теорема утверждает, что каждое собственное значение находится хотя бы в одном D_i. Если объединение нескольких дисков отделено от остальных дисков, в этой компоненте лежит столько собственных значений с кратностями, сколько дисков она содержит.

Ограничения

Диски дают включение, а не точное вычисление собственных значений; они могут сильно перекрываться и быть широкими. Нельзя складывать внедиагональные элементы со знаками: радиус строится из модулей. Реальная матрица всё равно может иметь комплексные собственные значения. Оценка по столбцам получается только после применения теоремы к A^T.

Подробное объяснение

Выберем компоненту собственного вектора максимального модуля. В соответствующей строке уравнения A x=lambda x вклад диагонали отличается от lambda ровно настолько, насколько его могут компенсировать остальные компоненты. Оценка модулей даёт |lambda−a_ii|≤sum_(j!=i)|a_ij|.

Так каждая строка превращается в геометрический диск комплексной плоскости. Важны именно модули: знак внедиагонального элемента не уменьшает гарантированно возможное отклонение собственного значения от центра.

Если диски разделены, непрерывное изменение внедиагональных элементов к нулю не позволяет собственным значениям перескочить между отделёнными компонентами. Отсюда следует правило подсчёта кратностей для изолированной компоненты объединения.

Для A=[[4,1],[2,3]] получаем центры 4 и 3, радиусы 1 и 2. Собственные значения 5 и 2 действительно попадают в эти области, но сами круги не заменяют решение характеристического многочлена.

Как пользоваться формулой

Для каждой строки выпишите диагональный элемент a_ii и все внедиагональные элементы.
Сложите модули внедиагональных элементов, получив R_i, и постройте диск с центром a_ii в C.
Возьмите объединение всех дисков как гарантированную область для спектра.
Проверьте, есть ли отделённая компонента дисков, чтобы посчитать её собственные значения с кратностью.
Для точных чисел или векторов используйте отдельный спектральный метод и сравните результат с дисками.

Историческая справка

Семён Гершгорин опубликовал теорему о границах собственных значений матрицы в 1931 году. Она дала способ извлекать спектральную информацию непосредственно из строк матрицы, не решая характеристическое уравнение высокого порядка. Геометрическая интерпретация через диски сохранила исходную идею и сделала теорему стандартным инструментом численной линейной алгебры. В эпоху, когда спектр матриц высокого порядка было трудно получить напрямую, оценка из диагонали и внедиагональных коэффициентов давала немедленную проверку расположения корней. Позднее теорема стала частью анализа устойчивости, предобусловливания и итерационных методов: она редко заменяет спектральный расчёт, но быстро показывает невозможные или подозрительные результаты. В современной литературе используют и строковую, и столбцовую формы, однако историческая статья формулирует исходную идею через матрицу и её характеристические корни.

Историческая линия формулы

Теорема носит имя Семёна Гершгорина по статье 1931 года «Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix». Термин «круги» описывает комплексные области локализации, а не предполагает вещественность спектра; это именно теорема о включении, не формула нахождения корней.

Пример

Для A=[[4,1],[2,3]] круги имеют центры 4 и 3, радиусы 1 и 2. Собственные значения решают λ²−7λ+10=0: λ=5 и λ=2. Число 5 лежит в первом круге, 2 — во втором. Для первой строки A центр равен 4, радиус |1|=1; число 5 находится на границе. Для второй центр 3, радиус |2|=2; число 2 находится внутри второго диска на расстоянии 1 от центра. Характеристический многочлен λ²−7λ+10 факторизуется как (λ−5)(λ−2), поэтому проверка не требует численного решателя. Каждая строка матрицы задаёт диск в комплексной плоскости: диагональный элемент становится центром, а суммарная величина остальных элементов — радиусом. Теорема утверждает, что хотя бы в одном таком диске лежит каждое собственное значение.

Частая ошибка

Не подставляйте алгебраическую сумму вместо суммы модулей. Не ограничивайте lambda вещественной осью. Не говорите, что в каждом отдельном пересекающемся диске ровно один корень. Не путайте локализацию спектра с алгоритмом его точного вычисления. При подсчёте всегда учитывайте кратности.

Практика

Задачи с решением

Два диска для матрицы 2×2

Условие. Постройте круги для A=[[1,−0,2],[0,8]].

Решение. R_1=|−0,2|=0,2, R_2=0. Поэтому |λ−1|≤0,2 и λ=8.

Ответ. Круг радиуса 0,2 с центром 1 и точка 8.

Вырожденные диски диагональной матрицы

Условие. Проверьте diag(−1,4).

Решение. В каждой строке вне диагонали нули, следовательно оба радиуса равны нулю.

Ответ. Области: {−1} и {4}.

Дополнительные источники

https://m.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=im&option_lang=eng&paperid=5235&wshow=paper
https://maths.nuigalway.ie/~rquinlan/linearalgebra/linearalgebra1516.pdf

Связанные формулы

Математика

Степенной метод: приближение доминирующего собственного значения

$x_{k+1}=\frac{Ax_k}{\|Ax_k\|},\quad\lambda_k=\frac{x_k^TAx_k}{x_k^Tx_k}$

Степенной метод многократно умножает стартовый вектор на матрицу, поэтому компоненту по простому собственному вектору с наибольшим модулем усиливает быстрее остальных. Нормировка сохраняет направление и предотвращает переполнение.

Математика

Пятиточечный шаблон Лапласа на квадратной сетке

$\Delta_hu_{i,j}=\frac{u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j}}{h^2}$

Пятиточечный шаблон приближает оператор Лапласа в внутреннем узле равномерной квадратной сетки. Он складывает центральные разности по двум направлениям и имеет погрешность порядка O(h²) для гладкой функции.

Математика

Оценка ошибки пары Дормана—Принса 5(4)

$err=\left\|y_{n+1}^{(5)}-y_{n+1}^{(4)}\right\|$

Встроенная пара Дормана—Принса 5(4) из общих стадий даёт два приближения решения ОДУ. Норма их разности оценивает локальную ошибку и позволяет принять шаг или повторить расчёт с меньшим h.

Математика

Квадратичный штраф за нарушение равенства

$\Phi_\mu(x)=f(x)+\frac{\mu}{2}h(x)^2$

Квадратичный штраф заменяет равенство h(x)=0 добавкой mu h(x)^2/2 к цели. При конечном mu минимум штрафовой функции обычно остаётся немного недопустимым, поэтому метод использует последовательность растущих параметров.