Аналитика / Статистические выводы

Точный интервал Гарвуда для пуассоновской частоты

Интервал Гарвуда оценивает постоянную интенсивность событий λ по счётчику x и суммарной экспозиции T. Границы выражаются квантилями χ²-распределения с 2x и 2(x+1) степенями свободы; при нуле событий нижняя граница равна нулю, а верхняя остаётся положительной.

Опубликовано: 8 ноября 2026 г.Обновлено: 8 ноября 2026 г.

Формула

\lambda_L=\frac{\chi^2_{2x;\alpha/2}}{2T},\quad \lambda_U=\frac{\chi^2_{2(x+1);1-\alpha/2}}{2T},\quad \chi^2_{0;q}=0

Схема Экспозиция и число событий задают интервал

95%-е интервалы Гарвуда. Частота выражена в событиях на 1000 единиц экспозиции; точка — x/T, линия — точные границы.

Обозначения

$x$: наблюдённое число событий за период наблюдения, целое неотрицательное число
$T$: суммарная экспозиция под риском или время наблюдения, например, человеко-годы или машино-часы
$λ$: постоянная интенсивность событий на единицу экспозиции, событий на единицу T
$α$: уровень ошибки; доверительный уровень равен 1−α, безразмерная вероятность
$χ²_{ν;q}$: квантиль уровня q распределения хи-квадрат с ν степенями свободы, по левой накопленной вероятности, безразмерное число
$λL,λU$: нижняя и верхняя границы интервала Гарвуда для частоты, событий на единицу T

Условия применения

Счётчик x моделируется распределением Пуассона с параметром среднего μ=λT: экспозиция T известна, а интенсивность λ постоянна в рассматриваемом интервале. События должны поступать независимо с однородной интенсивностью либо данные должны быть корректно объединены по независимым экспозициям при общей λ. Величина T положительна, x целое и неотрицательное; χ²-обозначение использует нижние квантили.

Ограничения

Если интенсивность меняется во времени, неоднородность экспозиции не учтена или события кластеризуются, один пуассоновский параметр может быть неподходящим; интервал тогда не исправляет ошибку модели. Нулевая нижняя граница при x=0 не означает нулевой риск. «Точный» означает покрытие не ниже заданного уровня для модели счёта, но из-за дискретности фактическое покрытие обычно консервативно. При T=0 частоту оценить нельзя.

Подробное объяснение

В пуассоновской модели число событий X за экспозицию T имеет среднее μ=λT. Наблюдаемая частота равна x/T, но один редкий счётчик может сильно колебаться от выборки к выборке. Интервал Гарвуда находит диапазон интенсивностей, для которых наблюдённое число событий не попадает в слишком редкие хвосты пуассоновского распределения.

Для центрального уровня 1−α нижнюю границу выбирают из нижнего хвоста: P(X≥x | μL)=α/2. Верхняя граница удовлетворяет P(X≤x | μU)=α/2. Инверсия этих хвостов приводит к квантилям хи-квадрат: для среднего μ границы равны половине χ² квантилей с 2x и 2(x+1) степенями свободы; частоту получают делением на T.

При x=0 нижний квантиль χ² с нулём степеней свободы по соглашению равен нулю. Верхняя граница положительна: отсутствие события за конечное время совместимо с небольшой, но не нулевой интенсивностью. Для 95% интервала верхняя граница среднего при нуле событий равна −ln(0,025)≈3,6889, поэтому частотная граница равна 3,6889/T.

Ширина интервала зависит от количества событий и экспозиции. Если x не меняется, увеличение T уменьшает частоту и границы пропорционально 1/T; если считать частоту на 1000 часов или на 100000 человеко-лет, обе границы нужно масштабировать одинаково. Симметрии вокруг x/T нет, особенно при малом x.

Точность здесь не означает, что после наблюдения интервал содержит фиксированную λ с вероятностью 95%. Это частотная процедура: при повторении наблюдений из одной пуассоновской модели не менее заданной доли построенных интервалов накрывает параметр. Дискретность счётчика обычно делает процедуру консервативной.

Перед применением проверьте единицы T, постоянство интенсивности и полноту регистрации событий. Если объединяются периоды с разными частотами, результат может быть лишь усреднённой частотой и не описывать ни один период отдельно. Для неоднородного потока или кластеризованных событий рассматривают другие модели и способы оценивания неопределённости.

Как пользоваться формулой

Определите однотипное событие и фиксированный период учёта; проверьте, что пуассоновская модель с общей интенсивностью λ правдоподобна.
Сложите экспозиции T для подходящих независимых наблюдений и подсчитайте целое число зарегистрированных событий x.
Выберите доверительный уровень 1−α и используйте нижние квантили χ² уровня α/2 и 1−α/2 с нужными степенями свободы.
Для x>0 вычислите нижнюю границу χ²_{2x;α/2}/(2T); при x=0 установите её равной нулю.
Верхнюю границу найдите как χ²_{2(x+1);1−α/2}/(2T); сохраните единицы событий на единицу экспозиции.
Сверьте масштаб: x/T должен лежать между границами, а увеличение T при том же x должно пропорционально уменьшать частоту и интервал.

Историческая справка

Фрэнк Гарвуд опубликовал заметку Fiducial Limits for the Poisson Distribution в Biometrika в 1936 году. В ней рассматривались границы для неизвестного среднего пуассоновского распределения, построенные по наблюдённому целому счётчику. Современное название «интервал Гарвуда» закрепилось за центральными точными границами, которые сохраняют заданное покрытие в повторной выборке.

Связь с χ²-распределением позволяет выразить решения пуассоновских хвостовых уравнений через стандартные квантили. В исторических таблицах такие пределы приходилось интерполировать; сейчас их рассчитывают численно. Для интенсивности на единицу экспозиции границы для среднего дополнительно делят на известное T.

Метод остаётся базовой точной процедурой для счётчиков событий и редких событий, когда нормальная симметричная аппроксимация плохо описывает крайние результаты. Современные руководства отдельно оговаривают нулевой счёт и единицы времени под риском. Точный интервал не снимает необходимости проверить однородность потока и качество регистрации.

Историческая линия формулы

Границы связаны с Фрэнком Гарвудом и его публикацией 1936 года о fiducial limits для распределения Пуассона. Современная χ²-запись представляет обращение двух хвостов и перевод среднего счётчика в частоту делением на экспозицию T.

Пример

За 1500 машино-часов зарегистрировали 3 отказа. Считаем отказы независимыми событиями при постоянной интенсивности λ. Требуется двусторонний интервал Гарвуда с доверием 95%, значит α=0,05 и оценка равна x/T=3/1500=0,002 отказа на машино-час. Для нижней границы χ²_{6;0,025}=1,237344, поэтому λL=1,237344/(2·1500)≈0,000412448. Для верхней границы χ²_{8;0,975}=17,534546, λU=17,534546/3000≈0,005844849 отказа на машино-час. Итог: примерно [0,000412; 0,005845] отказа на машино-час, или [0,412; 5,845] отказа на 1000 машино-часов. Проверка: при нижней границе вероятность не менее 3 событий равна 0,025; при верхней вероятность не более 3 равна 0,025. Интервал асимметричен и широк из-за малого счётчика.

Частая ошибка

Не делите счётчик на число устройств, если экспозиция задана в часах или человеко-времени: T должен соответствовать той модели интенсивности. Не забывайте делить оба χ² квантиля на 2T. При x=0 нижняя граница по определению нулевая, но верхнюю нельзя обнулять. Проверяйте, что квантиль задаётся накопленной вероятностью слева, иначе α и 1−α перепутаются. Не называйте интервал точным при нарушении постоянной пуассоновской интенсивности.

Практика

Задачи с решением

Событий не было

Условие. За 1000 машино-часов не зарегистрировано ни одного отказа. Найдите двусторонний 95%-й интервал частоты отказов.

Решение. x=0, T=1000. Нижняя граница равна нулю. χ²_{2;0,975}≈7,377759, поэтому верхняя λU=7,377759/(2·1000)=0,003688879 отказа на час.

Ответ. [0; 0,003689] отказа на машино-час; ноль событий не означает нулевую интенсивность.

Пять случаев за человеко-время

Условие. В исследовании накоплено 2000 человеко-лет и зарегистрировано 5 случаев. Постройте точный 95%-й интервал частоты на человеко-год.

Решение. x=5,T=2000; оценка 0,0025. Нижняя граница χ²_{10;0,025}/4000≈0,000811743; верхняя χ²_{12;0,975}/4000≈0,005834166.

Ответ. [0,000812; 0,005834] случая на человеко-год.

Дополнительные источники

https://jhanley.biostat.mcgill.ca/bios601/Intensity-Rate/Garwood1936.pdf
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/survival/html/cipoisson.html
https://fingertips.phe.org.uk/static-reports/public-health-technical-guidance/Basic_statistics/Rates.html

Связанные формулы

Математика

Распределение Пуассона: вероятность числа событий

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.

Аналитика

Доверительный интервал для доли

$\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$

Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Интервал Вильсона для биномиальной доли

$\frac{\hat p+z^2/(2n)\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}$

Интервал Вильсона оценивает неизвестную вероятность успеха по числу успехов в независимых испытаниях. Его границы получают обращением score-теста, и они остаются в допустимом диапазоне вероятностей.

Аналитика

Размер выборки для одной доли

$n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$

Размер выборки для одной доли: формула n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2} помогает величины n, z, p, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.