Инженерия / Теплопередача

Эффективность прямого ребра с теплоизолированным торцом

Прямое ребро отводит тепло боковой поверхностью, но его температура падает от основания к торцу. При постоянном сечении и изолированном торце эффективность равна tanh(mL)/(mL) и сравнивает реальный поток с идеально изотермическим ребром.

Опубликовано: 28 октября 2026 г.Обновлено: 28 октября 2026 г.

Теплопередача Количество теплоты Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

m=\sqrt{\frac{hP}{\lambda A_c}},\quad \eta_f=\frac{\tanh(mL)}{mL},\quad \dot Q_f=\eta_f hPL(T_b-T_\infty)

Схема Падение температуры вдоль ребра

Показано θ(x)/θᵦ=cosh(m(L−x))/cosh(mL) при mL=1. Наклон у изолированного торца нулевой.

Обозначения

$P$: периметр поперечного сечения ребра, м
$A꜀$: площадь проводящего поперечного сечения, м²
$L$: длина от основания до торца, м
$h$: коэффициент боковой конвекции, Вт/(м²·К)
$λ$: теплопроводность ребра, Вт/(м·К)
$m$: параметр затухания, м⁻¹
$ηf$: эффективность ребра, 1
$Tᵦ,T∞$: температуры основания и среды, К или °C для разности

Условия применения

Прямое ребро имеет постоянные P и A꜀; температура по поперечному сечению считается равномерной. Режим стационарный, λ и h постоянны, внутренних источников нет. Основание изотермическое, торец теплоизолирован; тепло уходит только с боковой площади PL.

Ограничения

Открытый охлаждаемый торец требует другой граничной формулы либо оговорённой поправки длины. При заметных поперечных градиентах одномерная модель неверна. Контактное сопротивление основания и излучение здесь отсутствуют. Справочный расчёт не заменяет тепловое проектирование радиатора.

Подробное объяснение

Пусть θ(x)=T(x)−T∞. Баланс проводимости вдоль ребра и боковой конвекции даёт λA꜀θ″−hPθ=0, то есть θ″−m²θ=0. Граничные условия θ(0)=θᵦ и θ′(L)=0 выражают заданную температуру основания и отсутствие потока через изолированный торец.

Из решения следует θ(x)/θᵦ=cosh(m(L−x))/cosh(mL). Эта функция равна 1 у основания, уменьшается к торцу и имеет там нулевой наклон. Поток у основания −λA꜀θ′(0)=λA꜀mθᵦtanh(mL) равен суммарной боковой теплоотдаче в стационарном режиме.

Идеальный поток при одинаковой температуре всего ребра равнялся бы hPLθᵦ. Отношение реального потока к нему даёт ηf=tanh(mL)/(mL), так как m²=hP/(λA꜀). Эффективность находится между 0 и 1; она характеризует использование уже имеющейся площади, а не отношение к потоку без ребра.

При малом mL эффективность близка к 1: ребро почти изотермическое. При большом mL она примерно 1/(mL), и удлинение добавляет холодную малоиспользуемую площадь. Мощность при этом стремится к пределу λA꜀mθᵦ. Снижение ηf с длиной не означает, что общий поток обязательно уменьшается.

Как пользоваться формулой

Найдите площадь сечения и периметр, омываемый средой; не путайте площадь проводимости A꜀ с боковой площадью отдачи PL.
Проверьте изоляцию торца и пригодность одномерного приближения; для другой границы нельзя молча использовать ту же эффективность.
Вычислите m и безразмерное mL, после чего найдите tanh(mL)/(mL); при очень малом аргументе используйте предел 1.
Умножьте эффективность на hPL и перепад основания со средой; независимо сравните с потоком через производную температуры в основании.

Историческая справка

Теория рёбер относится к расширенным поверхностям теплообмена. Её математическая основа — одномерный баланс проводимости и поверхностных потерь, превращающий задачу в линейное дифференциальное уравнение с гиперболическими функциями. Важно, что вид решения задают не только свойства материала, но и условие на торце.

Учебники теплообмена XX и XXI веков систематизировали разные профили рёбер и граничные условия. В «A Heat Transfer Textbook» Lienhard и Lienhard прямое ребро рассматривается как пример связи температурного поля с полезностью добавленной поверхности. Обозначения m и эффективности служат компактной формой такого анализа.

В инженерной практике понятия эффективности ребра, общей эффективности поверхности и усиления теплоотдачи разделяются. Они отвечают на разные вопросы и имеют разные знаменатели. Приведённая формула принадлежит модели постоянного сечения с изолированным концом; она не является универсальным законом для любого радиатора.

Историческая линия формулы

Формула выводится из закона Фурье и конвективного граничного баланса в теории расширенных поверхностей. Она приводится как стандартное решение краевой задачи, без неподтверждённого назначения отдельного изобретателя. Гиперболическая форма зависит от выбранного условия на торце.

Пример

Пусть λ=200 Вт/(м·К), A꜀=0,0001 м², P=0,05 м, h=20 Вт/(м²·К), L=0,10 м, Tᵦ−T∞=50 К. Получаем m=√(20·0,05/(200·0,0001))=√50≈7,071068 м⁻¹, mL≈0,707107. tanh(mL)≈0,608859, ηf≈0,861057. Идеальная боковая мощность hPLΔT=20·0,05·0,10·50=5 Вт, реальная Q̇≈4,305286 Вт. Проверяем второй записью: λA꜀mΔT·tanh(mL) даёт тот же результат. Температурный избыток торца равен 50/cosh(0,707107)≈39,663909 К, меньше избытка основания; это согласуется с охлаждением вдоль ребра. Здесь вся площадь PL является боковой, поэтому никакая дополнительная отдача с торца в эти 5 Вт не включена.

Частая ошибка

Не используйте площадь торца в hPL: по условию он изолирован. Не заменяйте tanh на tan. Не называйте ηf коэффициентом усиления относительно голого основания. Не заключайте по уменьшению эффективности, что удлинение всегда снижает мощность; сравнивать нужно сам поток, а не только долю использования площади.

Практика

Задачи с решением

Заданный параметр

Условие. mL=1, hPL=2 Вт/К, ΔT=30 К. Найдите эффективность и мощность.

Решение. η=tanh1≈0,761594; Q̇=0,761594·2·30≈45,69565 Вт.

Ответ. η≈0,761594; Q̇≈45,696 Вт.

Предел длинного ребра

Условие. λA꜀m=0,2 Вт/К, ΔT=40 К, mL→∞. Найдите предельный поток.

Решение. tanh(mL)→1; Q̇→λA꜀mΔT=0,2·40=8 Вт. Удлинение не даёт неограниченного роста.

Ответ. 8 Вт.

Дополнительные источники

https://ahtt.mit.edu/wp-content/uploads/2024/04/AHTTv600.pdf
https://handbook.ashrae.org/Handbooks/F25/SI/f25_ch04/f25_ch04_si.aspx

Связанные формулы

Инженерия

Закон Фурье для теплопроводности

$q=-\lambda A\frac{dT}{dx}$

Закон Фурье для теплопроводности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.

Физика

Число Био и равномерность температуры тела

$\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{\lambda},\qquad L_c=\frac{V}{A_s}$

Число Био сравнивает сопротивление теплопроводности внутри тела с сопротивлением теплоотдачи на его поверхности. Малое Bi позволяет приближённо считать температуру тела одинаковой по объёму.

Инженерия

Эффективность противоточного теплообменника через NTU

$\varepsilon=\frac{1-e^{-NTU(1-C_r)}}{1-C_re^{-NTU(1-C_r)}},\quad NTU=\frac{UA}{C_{min}},\quad C_r=\frac{C_{min}}{C_{max}}$

Метод ε–NTU находит мощность противоточного теплообменника по входным температурам, теплоёмкостным расходам и проводимости UA. Выходные температуры заранее знать не нужно; при равных расходах используется предел ε=NTU/(1+NTU).