Математика / Арифметика и теория чисел

Сумма делителей по простому разложению числа

Сумма положительных делителей n получается перемножением сумм степеней каждого простого множителя от нуля до его показателя. В сумму входят единица и само число; для собственных делителей затем вычитают n.

Опубликовано: 18 октября 2026 г.Обновлено: 18 октября 2026 г.

Теория чисел Алгебра Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \sigma(n)=\prod_{i=1}^{r}(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i})

Схема Все делители 72 как произведения

Все 12 ячеек содержат различные делители; их сумма 195.

Обозначения

$n$: положительное целое число, безразмерная величина
$σ(n)$: сумма всех положительных делителей, безразмерная величина
$pᵢ$: различные простые множители, безразмерная величина
$aᵢ$: показатели простых в n, безразмерная величина
$r$: число различных простых множителей, безразмерная величина
$i$: индекс множителя, безразмерная величина

Условия применения

Используется каноническое разложение положительного целого n на различные простые pᵢ с целыми положительными показателями aᵢ. Каждая скобка начинается с единицы. Для n=1 пустое произведение равно 1, что соответствует единственному делителю единицы.

Ограничения

Формула считает сумму, а не количество делителей. Если нужны собственные положительные делители, исключают только само n. Отрицательные делители в определение не входят. При неполном или непростом разложении произведение скобок может дать повторные или пропущенные слагаемые.

Подробное объяснение

Каждый делитель выбирает одну степень каждого простого из разложения n. Чтобы получить сумму всех таких произведений, запишем в отдельной скобке все допустимые степени одного простого и перемножим скобки. Распределительный закон создаст все комбинации.

При раскрытии произведения каждое слагаемое соответствует одному делителю. Например, для 12 скобки (1+2+4)(1+3) дают 1,2,4,3,6,12. Ни один делитель не повторяется, поскольку простое разложение однозначно, и сумма равна 28.

Каждая скобка является конечной геометрической прогрессией. Её можно вычислить как (p^(a+1)−1)/(p−1). Для маленьких степеней прямая сумма прозрачнее, а для больших показателей дробная запись сокращает количество действий. Деление здесь точное.

Единица возникает из выбора нулевой степени во всех скобках, а само n — из выбора максимальных степеней. Поэтому сумма собственных делителей равна σ(n)−n. У совершенного числа эта сумма совпадает с n, то есть σ(n)=2n.

Количество комбинаций и сумма их значений — разные величины. Для 12 комбинаций шесть, а сумма 28. Эта разница помогает отличить функцию σ от функции τ: первая учитывает величину каждого делителя, вторая даёт каждому вес один.

Как пользоваться формулой

Разложите число на различные простые степени и для каждого основания выпишите степени от нулевой до максимальной.
Сложите степени внутри каждой скобки или используйте формулу конечной геометрической прогрессии.
Перемножьте суммы скобок: раскрытие этого произведения перечисляет все положительные делители ровно один раз.
Если задача требует собственные делители, вычтите из полученного результата само исходное число n.

Историческая справка

Суммы делителей связаны с классическими задачами о совершенных числах, в которых число сравнивают с суммой его собственных делителей. Современная арифметическая функция σ объединяет такие задачи в одну запись. В справочниках XX–XXI веков её рассматривают как частный случай суммы степеней делителей: обычная сумма соответствует первой степени, а количество делителей — нулевой. NIST DLMF помещает формулы этих функций рядом, подчёркивая общее основание в простом разложении. Для элементарного вычисления достаточно распределительного закона и конечной геометрической прогрессии. Здесь не устанавливается авторство современного символа или единственный момент появления формулы; исторические задачи о делителях и современный язык арифметических функций относятся к разным этапам развития теории.

Историческая линия формулы

Сумма делителей относится к классической традиции задач о делимости и совершенных числах. Обозначение σ удобно для современной теории арифметических функций; формула произведения следует из раскрытия скобок по простым степеням и не требует отдельного эмпирического закона.

Пример

Для n = 72 имеем 72 = 2³ · 3². Каждый делитель выбирает одну из четырёх степеней 2 и одну из трёх степеней 3. Поэтому σ(72) = (1+2+4+8)(1+3+9) = 15 · 13 = 195. Проверка перечислением: делители 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72; их сумма равна 195. Собственных делителей было бы 195 − 72 = 123. В раскрытии скобок слагаемое 8 · 9 = 72 — сам исходный делитель, а 1 · 1 = 1 — единица. Все 4 · 3 = 12 комбинаций соответствуют делителям без пропусков. Сравнение 195>2 · 72 показывает, что число избыточное. Важно различать σ(72) = 195 и сумму собственных делителей 123: это два разных запроса.

Частая ошибка

Не подменяйте сумму степеней количеством степеней: это вычислит другую функцию. Не пропускайте начальную единицу. Не вычитайте n, если требуются все делители, и не забывайте вычесть его для собственных. Не округляйте геометрическую сумму: при целых простых основаниях результат вычисляется точно.

Практика

Задачи с решением

Число 12

Условие. Найдите сумму всех положительных делителей 12.

Решение. 12=2²·3. Сумма (1+2+4)(1+3)=7·4=28; список 1,2,3,4,6,12 подтверждает ответ.

Ответ. 28

Совершенное число

Условие. Найдите сумму собственных положительных делителей 28.

Решение. 28=2²·7. σ(28)=(1+2+4)(1+7)=56. Вычитаем 28 и получаем 28.

Ответ. 28; число совершенное

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/27.3
https://www.cs.ucf.edu/~dmarino/ucf/bhcsi/lectures/compprog/Day09-NumTheory-V2.pdf

Связанные формулы

Математика

Число делителей по разложению на простые множители

$n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \tau(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_i+1)$

Число положительных делителей n равно произведению увеличенных на единицу показателей в его простом разложении. Каждый делитель получается независимым выбором допустимой степени каждого простого множителя.

Математика

Функция Эйлера: произведение по простым делителям

$\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)$

Функция Эйлера φ(n) считает положительные целые числа от 1 до n, взаимно простые с n. Для вычисления достаточно знать различные простые делители n: каждый входит в произведение ровно один раз.

Математика

Правило произведения в комбинаторике

$N=m_1m_2\cdots m_k$

Формула описывает прием «умножение последовательных шагов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.