Математика / Численный поиск корней
Метод ложного положения: корень по хорде со скобкой
Метод ложного положения (regula falsi) берёт пересечение хорды с осью x и сохраняет интервал, где функция меняет знак. Он сочетает интерполяцию секущей с гарантией удержания корня в скобке непрерывной функции.
Формула
Синяя кривая f(x)=x²−2 и коричневая хорда через x=1 и x=2. Точка c₁=4/3 лежит на хорде при y=0, а не на самой кривой.
Обозначения
- $a,b$
- концы текущего интервала со сменой знака, единица корня
- $f(a),f(b)$
- значения функции на концах, единица f
- $c$
- пересечение хорды через концы с осью x, единица корня
Условия применения
Требуются непрерывность f на [a,b] и f(a)f(b)<0; теорема о промежуточном значении гарантирует хотя бы один корень внутри. После вычисления c оставляют часть скобки, на концах которой функция сохраняет разные знаки. Если f(a)=f(b), знаменатель равен нулю и шаг не определён.
Ограничения
В отличие от бисекции, ложное положение не делит интервал пополам; один конец может оставаться неизменным много шагов, и алгоритм иногда стагнирует. Малый остаток не всегда означает малую ошибку корня при плоской функции. Разрывная функция со сменой знака может не иметь нуля; касание оси без смены знака не даёт исходной скобки.
Подробное объяснение
Формула получается из линейной интерполяции: проводят хорду между точками (a,f(a)) и (b,f(b)) и вычисляют её нуль. Если на концах разные знаки, пересечение хорды лежит внутри скобки; это можно проверить как взвешенное среднее концов.
После вычисления f(c) заменяют только тот конец, знак значения которого совпадает со знаком f(c). Инвариант f(a)f(b)<0 сохраняется, поэтому непрерывность каждый раз гарантирует корень внутри интервала. Это отличие от обычной секущей, где две последние точки свободно перемещаются.
Если функция почти линейна на интервале, хорда может приблизить корень быстро. При сильной кривизне точка c может быть неудачной, а прежний конец — оставаться неподвижным. Поэтому смотрят на остаток и ширину b−a, задавая предел числа итераций.
Метод требует одного нового вычисления f после начальной пары и не использует производную. Сохранение скобки делает его защищённым, но не задаёт равномерной скорости сходимости. Модификации Illinois ускоряют стагнацию, уменьшая эффективный вес конца, который долго не меняется.
Секущая и ложное положение используют формулу хорды, но обновляют узлы по-разному. Для гарантии локализации выбирают false position; для большей скорости без скобки — защищённый секущий метод или Ньютон.
Как пользоваться формулой
- Подтвердите непрерывность f на всём интервале и выберите концы a,b с противоположными знаками значений.
- Вычислите c=a−f(a)(b−a)/(f(b)−f(a)); проверьте, что знаменатель ненулевой.
- Найдите f(c) и замените конец, знак значения которого совпадает со знаком f(c).
- Убедитесь, что новая пара снова образует смену знака; не переставляйте концы без проверки.
- Останавливайтесь по резидуалу и ширине скобки, одновременно ограничив число шагов.
Историческая справка
Regula falsi, или ложное положение, входит в исторически старое семейство способов локализовать корень по противоположным знакам. Современное изложение выводит формулу как линейную интерполяцию на скобке и сопоставляет её с бисекцией и секущей. В вычислительном анализе XIX–XX веков методы сравнивали по гарантии, скорости и стоимости вычисления; поздние варианты отдельно исправляют стагнацию неизменного конца.
Современные курсы показывают метод как компромисс между надёжностью и скоростью. Название описывает положение пересечения хорды, а не ложность результата: корень остаётся заключённым в интервале, если условия соблюдены. Исторические обзоры не закрепляют современную процедуру за одним автором, поэтому статья не делает такого заявления.
Историческая линия формулы
Формула — геометрический способ интерполяции хордой, а не индивидуально атрибутируемая разработка. Ложное положение известно в разных вычислительных традициях; современная процедура сохраняет смену знака и здесь не приписывается одному изобретателю.
Пример
Для f(x)=x²−2 возьмём скобку [1;2]: f(1)=−1, f(2)=2. Первая хорда даёт c₁=1−(−1)(2−1)/(2−(−1))=4/3≈1,3333; f(c₁)=−2/9, значит следующая скобка [4/3;2]. Второе пересечение c₂=4/3−(−2/9)(2−4/3)/(2−(−2/9))=4/3+1/15=7/5=1,4. Здесь f(c₂)=−0,04, поэтому сохраняется [7/5;2]. Корень √2≈1,4142 действительно остаётся внутри. Единицы формулы согласованы: произведение f и длины x делится на разность значений f, результат имеет единицу x. Нужно проверять знак после каждого шага, поскольку точка хорды не обязана делить интервал пополам.
Частая ошибка
Не заменяйте конец по величине функции вместо знака: так теряется гарантия скобки. Не путайте хорду с касательной метода Ньютона. Не предполагайте, что интервал каждый шаг сокращается вдвое. Не применяйте схему при одинаковых значениях на концах или к разрывной функции.
Практика
Задачи с решением
Первая хорда
Условие. Для f(x)=x²−2 на начальной скобке [1;2] вычислите первое пересечение хорды с осью x.
Решение. f(1)=−1 и f(2)=2; c=1−(−1)(2−1)/(2−(−1))=4/3. Значение f(c)=−2/9 сохраняет левый отрицательный конец.
Ответ. c=4/3≈1,3333; f(c)=−2/9, новая скобка [4/3;2].
Обновление скобки
Условие. Если на скобке f(a)<0, f(b)>0, а в найденной точке c получилось f(c)>0, укажите обновление и объясните его.
Решение. Знак f(c) совпадает со знаком f(b), поэтому заменяют b на c, а a оставляют.
Ответ. Заменяем b на c; [a;c] сохраняет противоположные знаки.
Дополнительные источники
- https://clp.math.uky.edu/clp1/sec_C_3.html
- https://faculty.tcu.edu/richardson/2022S_na/text/numAnal_notes.pdf
- https://www.d.umn.edu/~mhampton/NA/Roots/
Связанные формулы
Математика
Метод бисекции: корень и гарантированная точность
Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.
Математика
Метод секущих: поиск корня без вычисления производной
Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.
Математика
Метод Ньютона: приближение корня по касательной
Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.