Математика / Вероятность и статистика

Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение задаёт вероятность того, что r-й успех случится ровно на k-м независимом испытании. Число успехов фиксировано, а длина серии до остановки случайна.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}

Схема Номер третьего успеха

При r=3,p=0,4 показаны вероятности моментов k=3,…,8. Высоты вычислены по массе отрицательного биномиального закона.

Обозначения

$r$: требуемое число успехов, шт.
$k$: номер испытания r-го успеха, испытания
$p$: неизменная вероятность успеха, доля
$X$: случайный номер остановки, испытания

Условия применения

Испытания независимы и одинаково распределены, каждое имеет два исхода с постоянной вероятностью успеха 0<p≤1. Число r — положительное целое, возможный номер остановки k≥r. Последнее испытание должно быть успешным, а в предыдущих k−1 нужно ровно r−1 успехов.

Ограничения

При меняющемся p или зависимости исходов степенное произведение вероятностей неприменимо. В другом распространённом соглашении считают неудачи до r-го успеха: этот счётчик равен k−r. При p=0 серия никогда не завершится, поэтому конечный момент остановки этой формулой не описывается.

Подробное объяснение

Отрицательное биномиальное распределение нумерует испытание, на котором появляется r-й успех. В отличие от биномиального закона, здесь заранее фиксировано число успехов, а число испытаний случайно. Множитель C(k−1,r−1) выбирает места для первых r−1 успехов среди первых k−1 испытаний; последнее испытание обязано быть успехом.

Степень p^r отвечает r успехам, а (1−p)^(k−r) — неудачам до последнего испытания. Сумма вероятностей по k=r,r+1,… равна единице. Среднее число испытаний r/p, поэтому при малом p хвост распределения становится длинным.

Модель требует независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха. Если вероятность меняется от шага к шагу или исходы зависят друг от друга, произведение степеней уже не описывает эксперимент. Не следует путать эту запись с вероятностью числа неудач до r-го успеха: там меняется случайная величина и сдвигается индекс.

Практически закон применяют к числу звонков до заданного числа продаж, попыткам до успешного теста и отказам до ремонта. Для малых r удобно считать сумму напрямую, а для больших параметров использовать логарифмы факториалов, чтобы не получить переполнение.

Как пользоваться формулой

Определите, что фиксируется число успехов r, а случайна длина серии; проверьте независимость испытаний и постоянство вероятности p.
Проверьте целочисленное k≥r; среди первых k−1 позиций выберите места для r−1 успехов и вычислите C(k−1,r−1).
Умножьте коэффициент на p^r и (1−p)^(k−r), сохраняя отдельный обязательный успех на последнем испытании.
Проверьте ответ на r=1 как геометрическое распределение; для нескольких k сумма вероятностей не должна превышать единицу.

Историческая справка

Корни отрицательно-биномиальной модели находятся в задачах о повторных испытаниях, которые изучались в ранней теории вероятностей XVII века. В переписке и книгах семьи Бернулли появились вопросы о числе попыток до заданного числа успехов; позднее Паскаль и Лаплас развили комбинаторную запись вероятностей. Название «отрицательное биномиальное» связано с коэффициентами разложения отрицательной степени бинома, хотя современная интерпретация через испытания часто удобнее.

В XIX–XX веках распределение стало частью математической статистики и моделей счётных данных с дисперсией, превышающей среднее. Современная запись отделяет параметр успеха p от числа требуемых успехов r и позволяет сравнивать её с геометрическим частным случаем r=1. У формулы нет единственного автора: это результат развития биномиальных коэффициентов, независимых испытаний и статистических моделей.

Историческая линия формулы

Закон относится к классической схеме независимых испытаний Бернулли и допускает разные параметризации. Название «отрицательное биномиальное» не означает отрицательную вероятность: оно связано с обобщённым биномиальным разложением, а в задаче останавливаются на заданном числе успехов.

Пример

Испытания независимы, вероятность успеха p=0,4. Найдём вероятность третьего успеха ровно на пятой попытке: r=3,k=5. Последняя попытка успешна, а среди первых четырёх нужны два успеха и две неудачи. Их места выбираются C(4,2)=6 способами. Подстановка: P(X=5)=6·0,4³·0,6²=6·0,064·0,36=0,13824. Ответ:13,824%. Проверка через первые четыре испытания: вероятность ровно двух успехов 6·0,4²·0,6²=0,3456, умножение на успех последней попытки 0,4 даёт 0,13824. Соседние массы для k=3,4,6 равны 0,064;0,1152;0,13824. Их сумма вместе с ответом 0,45568 меньше единицы: оставшаяся вероятность относится к более поздним моментам остановки.

Частая ошибка

Не ставьте C(k,r): последнее испытание закреплено как успех и не выбирается среди остальных. Не путайте k с числом неудач k−r. Не применяйте закон к отбору без возвращения из малой конечной партии. Не заменяйте событие «r-й успех на k-м шаге» событием «не менее r успехов за k шагов».

Практика

Задачи с решением

Третий успех

Условие. p=0.4. Найдите вероятность третьего успеха на пятом испытании.

Решение. C(4,2)=6; P=6·0.4^3·0.6^2=6·0.064·0.36.

Ответ. P=0.13824.

Первый успех

Условие. p=0.25. Найдите вероятность первого успеха на четвёртом испытании.

Решение. Первые три исхода неудачны, четвёртый успешен: 0.75^3·0.25=0.10546875.

Ответ. P=0.10546875.

Дополнительные источники

https://online.stat.psu.edu/stat504/Lesson01
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.nbinom.html

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Математическое ожидание биномиального распределения

$M(X)=np$

Формула «Математическое ожидание биномиального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Отрицательное гипергеометрическое распределение: момент успеха

$\Pr(T=t)=\frac{\binom{t-1}{r-1}\binom{N-t}{K-r}}{\binom NK},\qquad r\le t\le N-K+r$

При выборке без возвращения отрицательное гипергеометрическое распределение описывает номер извлечения заданного r-го успеха. В отличие от обычной гипергеометрической схемы размер выборки заранее не фиксирован.