Математика / Вероятность и статистика

Отрицательное гипергеометрическое распределение: момент успеха

При выборке без возвращения отрицательное гипергеометрическое распределение описывает номер извлечения заданного r-го успеха. В отличие от обычной гипергеометрической схемы размер выборки заранее не фиксирован.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\Pr(T=t)=\frac{\binom{t-1}{r-1}\binom{N-t}{K-r}}{\binom NK},\qquad r\le t\le N-K+r

Схема Две вероятности остановки

Для N=10,K=3,r=2: P(T=2)=3/45, P(T=4)=0,15; сравниваются конкретные моменты остановки.

Обозначения

$N$: общее число предметов конечной совокупности, шт.
$K$: число предметов, считающихся успехами, шт.
$r$: номер успеха, на котором прекращают отбор, шт.
$T,t$: случайный номер остановки и его возможное значение, извлечения

Условия применения

Все порядки извлечения без возвращения равновероятны. Параметры целые:1≤r≤K≤N, а возможный момент остановки t лежит от r до N−K+r. Классификация предметов на успех и неуспех фиксирована до начала отбора; успех может обозначать и обнаружение дефекта.

Ограничения

При возвращении предметов используется другая модель с постоянной вероятностью успеха. При неравновероятном выборе формула перестаёт описывать все порядки. В литературе случайной величиной часто служит число неудач до остановки, равное T−r; его нельзя подставлять в формулу как T.

Подробное объяснение

Представим все N предметов в случайном порядке и отметим K позиций успехов. Любой набор из K позиций равновероятен, поэтому всего имеется C(N,K) равноправных расположений. Это удобнее, чем перемножать длинную цепочку меняющихся условных вероятностей.

Событие T=t требует успеха на позиции t и ровно r−1 успехов перед ней. Их позиции выбираются C(t−1,r−1) способами. После t остаётся разместить K−r успехов среди N−t мест, что даёт второй коэффициент. Произведение благоприятных расположений делят на общее число.

Самая ранняя остановка — t=r, когда первые r извлечений успешны. Самая поздняя — t=N−K+r, когда до нужного успеха успели появиться все N−K неуспехов. Если t вне этого диапазона, событие невозможно и его вероятность равна нулю.

Есть независимая проверка через обычный гипергеометрический закон. Сначала вероятность ровно r−1 успехов в первых t−1 извлечениях умножают на условную вероятность успеха на следующем шаге: (K−r+1)/(N−t+1). Получается та же масса остановки.

При программном сравнении важно сопоставить параметры библиотеки. Например, SciPy описывает число предметов одного цвета до заданного числа другого цвета. Чтобы получить наш T, меняют роль цветов и добавляют r к числу неуспехов. Одинаковое название распределения не гарантирует одинаковую случайную величину.

Как пользоваться формулой

Определите N,K и нужный номер успеха r; убедитесь, что отбор равновероятен и предметы после проверки не возвращаются в совокупность.
Проверьте допустимый момент t: он не меньше r и не больше N−K+r; вне этих границ сразу запишите нулевую вероятность.
Вычислите C(t−1,r−1) и C(N−t,K−r), перемножьте их и разделите на C(N,K), не заменяя схему биномиальной.
Проверьте ответ через вероятность состава первых t−1 извлечений и условный шанс успеха на шаге t либо суммой всех возможных моментов.

Историческая справка

Задача принадлежит классической урновой комбинаторной традиции: конечный запас предметов извлекают без возвращения и анализируют случайный состав выборки. Отрицательная гипергеометрическая постановка меняет условие остановки: заранее задают число нужных исходов, а не длину отбора.

В современной статистике XXI века это различие отражается и в программных соглашениях. Документация SciPy отдельно определяет число предметов до появления заданного количества предметов другого типа и связывает массу с обычным гипергеометрическим распределением. Поэтому исторически закрепившееся название не следует принимать за полное определение параметров: воспроизводимый расчёт всегда указывает, что считается успехом, на каком событии останавливаются и какой именно счётчик возвращает программа.

Историческая линия формулы

У распределения есть несколько эквивалентных параметризаций, связанных с урновой схемой без возвращения. Здесь не приписывается отдельное авторство приведённой записи: она выводится подсчётом позиций успехов. Источник SciPy используется для проверки связи моделей и соглашений о случайной величине.

Пример

В партии N=20 предметов K=5 дефектных. Их извлекают случайно без возвращения до третьего дефекта. Найдём вероятность остановиться ровно на шестой проверке: r=3, t=6. До шестой позиции нужны два дефекта среди пяти: C(5,2)=10. Шестая позиция фиксирована как дефект, а ещё два дефекта размещаются среди оставшихся четырнадцати мест: C(14,2)=91. Общее число расположений дефектов C(20,5)=15504. Поэтому P(T=6)=10·91/15504=910/15504≈0,05869453. Ответ: около 5,86945%. Проверка другим способом: вероятность двух дефектов в первых пяти равна C(5,2)C(15,3)/C(20,5); после этого осталось 3 дефекта среди 15 предметов, поэтому умножаем на 3/15. Получаем тот же результат. Это вероятность конкретного момента, а не число дефектов в заранее фиксированной выборке из шести.

Частая ошибка

Не подставляйте число успехов K вместо позиции t в первый коэффициент. Не используйте фиксированную вероятность K/N на каждом шаге: после извлечений состав меняется. Не путайте T с числом неудач T−r. Не считайте вероятность ровно r успехов в первых t испытаниях равной вероятности r-го успеха именно на t-м: последнее испытание обязано быть успешным.

Практика

Задачи с решением

Второй успех

Условие. N=10,K=3,r=2. Найдите вероятность T=4.

Решение. C(3,1)C(6,1)/C(10,3)=3·6/120=18/120=0,15.

Ответ. 0,15.

Первый успех сразу

Условие. N=12,K=4,r=1. Найдите вероятность T=1.

Решение. C(0,0)C(11,3)/C(12,4)=165/495=1/3. Это также шанс успеха первого извлечения 4/12.

Ответ. 1/3.

Дополнительные источники

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.nhypergeom.html
https://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Negativehypergeometric.pdf

Связанные формулы

Математика

Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения

$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу.

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Отрицательное биномиальное распределение

$P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$

Отрицательное биномиальное распределение задаёт вероятность того, что r-й успех случится ровно на k-м независимом испытании. Число успехов фиксировано, а длина серии до остановки случайна.